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Fibonacci: Beweis
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:26 Mo 24.11.2008
Autor: L1NK

Aufgabe
Für die Fibonacci Zahlen gilt:
F(n) = [mm] 2^{n} [/mm]
Diese Behauptung ist zu beweisen, allerdings ohne die Benutzung der Formel von Binet...

Hallo, kann mir einer weiterhelfen.
Also mit Binet wäre das kein Thema nur so fehlt mir der Ansatz.
Gruss LINK

        
Bezug
Fibonacci: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Mo 24.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Für die Fibonacci Zahlen gilt:
>  F(n) = [mm]2^{n}[/mm]

Hallo,

ist das der komplette Aufgabentext?

Wie sind die Fibonaccizahlen bei Dir definiert?

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Fibonacci: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Mo 24.11.2008
Autor: L1NK

Ja das ist der komplette Aufgabentext.
Das ist ja gerade mein Problem, weiß nicht was ich als Induktionsannahme nehmen soll.
Das einzige was wir in der Vorlesung aufgeschrieben haben ist
F(1) = 1 [mm] \wedge [/mm] F(2) = 1 [mm] \wedge [/mm] F(n+2) = F(n+1) + F(n)
Keine Ahnung was ich da machen soll....

Bezug
                        
Bezug
Fibonacci: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Mo 24.11.2008
Autor: fred97


> Ja das ist der komplette Aufgabentext.
>  Das ist ja gerade mein Problem, weiß nicht was ich als
> Induktionsannahme nehmen soll.
>  Das einzige was wir in der Vorlesung aufgeschrieben haben
> ist
> F(1) = 1 [mm]\wedge[/mm] F(2) = 1 [mm]\wedge[/mm] F(n+2) = F(n+1) + F(n)
>  Keine Ahnung was ich da machen soll....



Da stimmt gewaltig etwas nicht !! Oben schreibst Du, Ihr sollt F(n) = [mm] 2^n [/mm] zeigen. Dann wäre ja F(1) = 2 und F(2) = 4 ????????????????


FRED

Bezug
                                
Bezug
Fibonacci: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 Mo 24.11.2008
Autor: reverend

Die Aufgabe würde noch einigermaßen Sinn machen, wenn zu zeigen wäre: [mm] F(n)\le 2^n [/mm]
War's das vielleicht?

Bezug
                                        
Bezug
Fibonacci: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Mo 24.11.2008
Autor: L1NK

Stimmt hab mich verlesen.
Also beweise F(n) < [mm] 2^{n} [/mm]
Weiß aber trotzdem keinen Anfang.
Sorry wegen dem Missverständnis.

Bezug
                                                
Bezug
Fibonacci: vollständige Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mo 24.11.2008
Autor: Roadrunner

Hallo L1nk!


Wie die Forumsüberschrift schon verrät ... verwende hier MBvollständige Induktion mit der rekursiven Folgenvorschrift.

Formuliere dafür um zu:
$$F(n) \ = \ F(n-1)+F(n-2)$$
Der Induktionsanfang ist hier auch für zwei Werte $F(1)_$ sowie $F(2)_$ zu führen.

Der Induktionsschritt lautet dann im ersten Schritt:
$$F(n+1) \ = \ F(n)+F(n-1) \ < \ [mm] 2^n+2^{n-1} [/mm] \ < \ ...$$

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                        
Bezug
Fibonacci: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Mo 24.11.2008
Autor: L1NK

Danke erstmal für die Antwort. Nur leider komme ich nicht ganz weiter.
Wie bekomme ich denn [mm] 2^{n} [/mm] + [mm] 2^{n-1} [/mm] weiter vereinfacht??
Danke

Bezug
                                                                
Bezug
Fibonacci: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Mo 24.11.2008
Autor: fred97


> Danke erstmal für die Antwort. Nur leider komme ich nicht
> ganz weiter.
>  Wie bekomme ich denn [mm]2^{n}[/mm] + [mm]2^{n-1}[/mm] weiter vereinfacht??
>  Danke

[mm]2^{n}[/mm] + [mm]2^{n-1}[/mm]  = [mm] 2^{n-1}(2+1) [/mm] < [mm] 2^{n-1}(2+2)= 2^{n-1}(4) [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm]

FRED

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