Fehlersuche bei exp und ln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Finden Sie den Fehler in folgender Rechnung:
Es gilt für alle [m]x > 0: e^{0.5(ln \, x)^2} = x[/m] denn:
[m] e^{0.5(ln \, x)^2} = ( e^{{(ln \, x)}^2} )^{0.5} = e^{(ln \, x)^{2 * 0.5}} = e^{ln \, x} = x[/m]
Hinweis: Es ist genau ein Fehler vorhanden; genaue Beschreibung erforderlich! |
Es ist GENAU ein Fehler vorhanden, kann mir einer auf die Sprünge helfen?
Die Fehler-Beschreibung dazu ist wichtig, deswegen muss man es wirklich verstanden haben!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 So 06.04.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo gummibaum,
Du bist doch jetzt schon seit 8 Monaten hier. Da weißt Du sicher, dass wir Deine Aufgaben nicht lösen, sondern Dir nur Hinweise geben, wenn Du selbst erst etwas dazu tust.
Ich habe den Fehler schnell gefunden. Eine der Umformungen ist falsch. Schau sie Dir also mal einzeln gründlich an.
Grüße
reverend
PS: Um die Lesbarkeit zu verbessern, werde ich gleich Deine Fragen noch minimal editieren.
|
|
|
| |
|
Hallo.
Ich denke, ich habe den Fehler gefunden.
Dieser befindet sich in der Umformung: [m]( e^{{(ln \, x)}^2} )^{0.5} = e^{(ln \, x)^{2 \cdot{} 0.5}}[/m]
Der Exponent 2 auf der linken Seite der Gleichung bezieht sich auf die Basis ln(x) (siehe Klammersetzung).
Es wird aber so gerechnet als bezöge sich der Exponent 2 auf die Basis [mm] e^{(\ln x)}.
[/mm]
Dies ist aber nicht der Fall, es gilt: [m]e^{{(ln \, x)}^2} \not= (e^{{ln \, x}})^{2} = x^{2}[/m]
Passt das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo.
>
> Ich denke, ich habe den Fehler gefunden.
>
> Dieser befindet sich in der Umformung: [m]( e^{{(ln \, x)}^2} )^{0.5} = e^{(ln \, x)^{2 \cdot{} 0.5}}[/m]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der Exponent 2 auf der linken Seite der Gleichung bezieht
> sich auf die Basis ln(x) (siehe Klammersetzung).
>
> Es wird aber so gerechnet als bezöge sich der Exponent 2
> auf die Basis [mm]e^{(\ln x)}.[/mm]
>
> Dies ist aber nicht der Fall, es gilt: [m]e^{{(ln \, x)}^2} \not= (e^{{ln \, x}})^{2} = x^{2}[/m]
>
> Passt das so?
Das ist okay (eigentlich sollte man auch sagen, für welche [mm] $x\,$ [/mm] diese Gleichheit
falsch ist - oder wenigstens ein [mm] $x\,$ [/mm] benennen, für das das Behauptete
offensichtlich falsch ist - denn für [mm] $x=1\,$ [/mm] dürfte man so rechnen, wenngleich
die Rechenschritte natürlich unsinnig aufgeschrieben wären).
Du kannst auch sagen, dass nach bekannten Rechenregeln
[mm] $(e^{(\ln x)^2})^{0,5}=e^{0,5*(\ln x)^2}$
[/mm]
gilt, und dass
[mm] $e^{0,5*(\ln x)^2}=e^{\ln x}$
[/mm]
wegen der Injektivität der [mm] $e\,$-Funktion
[/mm]
$0,5 [mm] (\ln x)^2=\ln [/mm] x$
nach sich ziehen würde. Für $x [mm] \not=1\,$ [/mm] haben wir dann
[mm] $\ln x=2\,.$
[/mm]
Unabhängig davon, dass man sich davon überzeugen kann, dass für [mm] $x=1\,$ [/mm] die
Gleichung ebenso gilt wie für [mm] $x=e^2$:
[/mm]
Wir sehen so, dass die behauptete Gleichung
$x [mm] \in \{1,\,e^2\}$
[/mm]
nach sich zieht. Daher kann sie nicht für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] gelten.
(Du kannst es Dir auch *einfacher* machen und etwa für
[mm] $x=e^4\,$
[/mm]
nachrechnen, dass oben "Unsinn" herauskommt. Damit hast Du nämlich
ein $x > [mm] 0\,$ [/mm] gefunden, welches nicht die Gleichheit, die dort behauptet
wird, erfüllt.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
