Fehlerschranke berechnen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Do 23.07.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Der Folgende Text ist eine 1:1 Übertragung aus dem Lehrbuch
Eine Metallkugel mit dem Durchmesser d = 6,0 [mm] \pm [/mm] 0,05 cm wird gewogen. Die Masse beträgt M = 1000 [mm] \pm [/mm] 1 g. Die Dichte D des Metalls soll bestimmt werden.
Mit dem Kugelvolumen V = [mm] \bruch{4 \pi}{3}r^3 [/mm] hat man also
D = D(M, r) = [mm] \bruch{M}{V} [/mm] = [mm] \bruch{3 * M}{4 * \pi * r^3}, [/mm] als Funktion von M und r wobei r = [mm] \bruch{d}{2} [/mm] = 3,0 [mm] \pm [/mm] 0,025 cm ist.
Der Näherungswert für die Dichte beträgt D = [mm] \bruch{3 * 1000}{4 * \pi * 3,0^3} [/mm] = 8,842 [mm] \bruch{g}{cm^3} [/mm] (Es könnte sich also um Kupfer handeln, mit der Dichte 8,93 [mm] \bruch{g}{cm^3}.)
[/mm]
Die partiellen Ableitungen von D nach M und r sind:
[mm] \bruch{\partial D}{\partial M} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4 * \pi * r^3}; \bruch{\partial D}{\partial r} [/mm] = - [mm] \bruch{9 * M}{4 * \pi * r^4}
[/mm]
Daraus ergibt sich die Fehlerschranke:
[mm] |\Delta [/mm] D| [mm] \le \bruch{3}{4 * \pi * r^3} [/mm] * [mm] \varepsilon_M [/mm] + [mm] \bruch{9 * M}{4 * \pi * r^4} [/mm] * [mm] \varepsilon_r
[/mm]
= 0,0088 * 0,5 + 8,842 * 0,025
= 0,0044 + 0,221
= 0,225
[mm] \approx [/mm] 0,23
Somit kann man die Dichte angeben als D = 8,83 [mm] \pm [/mm] 0,32 [mm] \bruch{g}{cm^3} [/mm] (Der Tabellenwert des Kupfer liegt innerhalb dieses Intervalls) |
Hallo,
wie erwähnt ist der Text oben original. Dazu zwei Fragen:
1) Warum wird bei der Berechnung der Fehlerschranke [mm] |\Delta [/mm] D| als Wert für die Fehlerschranke der Masse [mm] \varepsilon_M [/mm] 0,5 (also die Hälfte) und nicht 1,0 genommen? Denn für den Wert der Fehlerschranke des Radius [mm] \varepsilon_r [/mm] hat man den Wert 0,025 genommen, der zwar der halbierte Durchmesser ist, aber nur, weil die Formel es so verlangte. Man hat die Abweichung [mm] \varepsilon_r [/mm] ansonsten ja in Ruhe gelassen.
2) Ausgerechnet wurde [mm] |\Delta [/mm] D| [mm] \approx [/mm] 0,23, im Schlusssatz steht jedoch: D = 8,83 [mm] \pm [/mm] 0,32. Ein Zahlendreher?
lg
magics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Sa 25.07.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 0,5 statt 1 sind falsch, ebenso wie die 0,32 am Ende.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 26.07.2015 | | Autor: | magics |
Besten Dank
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