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| Aufgabe | 1) Die Formel für die Schwingungsdauer T eines Pendels der Länge L in Abhängigkeit vom Auslenkungswinkel [mm] \mu [/mm] ist gegeben durch
[mm] T=2\pi(\bruch{L}{g}cos\mu )^{1/2} [/mm] (g=Erdbeschleunigung)
a) Bestimmen Sie mit der small-change-Formel näherungsweise den Fehler [mm] T(\mu \pm \Delta \mu )-T(\mu [/mm] )=: [mm] \Delta [/mm] T und den relativen Fehler [mm] \bruch{\Delta T}{T}, [/mm] der durch einen Fehler [mm] \Delta \mu [/mm] bei der Messung von [mm] \mu [/mm] zustande kommt.
b) Geben Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes (MWS) Eingrenzungen für [mm] \bruch{\Delta T}{T} [/mm] an, wenn [mm] \mu =\bruch{\pi}{6} [/mm] ist und mit einem Fehler [mm] \Delta \mu =\bruch{\pi}{180} [/mm] gemessen wurde. |
Hallo,
also, mit dieser Aufgabe stehe ich irgendwie extrem auf Kriegsfuß. Ich glaube, die ist extra kompliziert gestellt, damit man sie nicht versteht.
Die Small-Change-Formel lautet:
[mm] \Delta Y\approxY'(x)*\Delta [/mm] x
In diesem Fall also vermutlich:
[mm] \Delta T\approxT'(\mu)*\Delta \mu
[/mm]
und [mm] T'(\mu)=\pi*(\bruch{L}{g}cos\mu)^{(-\bruch{1}{2})}*\bruch{L}{g}*(-sin\mu)
[/mm]
Aber was ist jetzt [mm] \Delta \mu? [/mm] Spielt da eine Rolle, dass der Winkel jetzt wohl zwischen 0 und 90° sein kann? Das verstehe ich nicht, wie man darauf jetzt kommen soll... woher kann ich denn wissen, um wieviel man sich vermessen kann... höchstens um 90° oder wie??
Und wie soll ich den relativen Fehler [mm] \bruch{\Delta T}{T} [/mm] angeben, wenn ich doch T gar nicht kenne?
Kann mir da jemand einen Tipp geben??
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Do 25.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> 1) Die Formel für die Schwingungsdauer T eines Pendels der
> Länge L in Abhängigkeit vom Auslenkungswinkel [mm]\mu[/mm] ist
> gegeben durch
>
> [mm]T=2\pi(\bruch{L}{g}cos\mu )^{1/2}[/mm]
> (g=Erdbeschleunigung)
>
> a) Bestimmen Sie mit der small-change-Formel näherungsweise
> den Fehler [mm]T(\mu \pm \Delta \mu )-T(\mu[/mm] )=: [mm]\Delta[/mm] T und
> den relativen Fehler [mm]\bruch{\Delta T}{T},[/mm] der durch einen
> Fehler [mm]\Delta \mu[/mm] bei der Messung von [mm]\mu[/mm] zustande kommt.
>
> b) Geben Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes (MWS)
> Eingrenzungen für [mm]\bruch{\Delta T}{T}[/mm] an, wenn [mm]\mu =\bruch{\pi}{6}[/mm]
> ist und mit einem Fehler [mm]\Delta \mu =\bruch{\pi}{180}[/mm]
> gemessen wurde.
> Hallo,
> also, mit dieser Aufgabe stehe ich irgendwie extrem auf
> Kriegsfuß. Ich glaube, die ist extra kompliziert gestellt,
> damit man sie nicht versteht.
>
> Die Small-Change-Formel lautet:
>
> [mm]\Delta Y\approxY'(x)*\Delta[/mm] x
>
> In diesem Fall also vermutlich:
>
> [mm]\Delta T\approxT'(\mu)*\Delta \mu[/mm]
>
> und
> [mm]T'(\mu)=\pi*(\bruch{L}{g}cos\mu)^{(-\bruch{1}{2})}*\bruch{L}{g}*(-sin\mu)[/mm]
>
> Aber was ist jetzt [mm]\Delta \mu?[/mm] Spielt da eine Rolle, dass
> der Winkel jetzt wohl zwischen 0 und 90° sein kann? Das
> verstehe ich nicht, wie man darauf jetzt kommen soll...
> woher kann ich denn wissen, um wieviel man sich vermessen
> kann... höchstens um 90° oder wie??
> Und wie soll ich den relativen Fehler [mm]\bruch{\Delta T}{T}[/mm]
> angeben, wenn ich doch T gar nicht kenne?
Du sollst in Teil a gar keine konkreten Werte einsetzen, sondern nur eine Näherungsformel herleiten, mit der du [mm]\bruch{\Delta T}{T}[/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\Delta\mu$ [/mm] berechnen kannst. Du musst also nur noch dein Zwischenergebnis durch [mm] $T=2\pi(\bruch{L}{g}cos\mu )^{1/2}$ [/mm] dividieren. Da kommt ein schöner einfacher Ausdruck heraus.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
ok, ich habe jetzt ausgerechnet:
[mm] \bruch{\Delta T}{T}=\bruch{(-sin\mu)* \Delta \mu}{4*cos\mu}
[/mm]
Und hoffe dass das richtig ist.. kann auch sein, dass ich mich irgendwo vertan habe....
So, und jetzt habe ich aber irgendwie ein Problem, eine Abschätzung zu bekommen. Ich denke mal, ich soll dafür diese neu gewonnene Formel benutzen, aber da bekomme ich doch nur einen Wert heraus, oder muss ich nun einmal [mm] -\mu [/mm] und [mm] +\mu [/mm] und - [mm] \Delta \mu [/mm] und + [mm] \Delta \mu [/mm] einsetzen? Oder setze ich die Werte einfach wieder in die Formel aus a) ein, also in den Differenzenquotienten? Dann würde ich doch eine Abschätzung für den Fehler für [mm] \Delta [/mm] T bekommen.
Viele Grüße,
Anna
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Hallo Anna
> ok, ich habe jetzt ausgerechnet:
>
> [mm]\bruch{\Delta T}{T}=\bruch{(-sin\mu)* \Delta \mu}{4*cos\mu}[/mm]
>
> Und hoffe dass das richtig ist.. kann auch sein, dass ich
> mich irgendwo vertan habe....
Es stimmt fast - aber statt der 4 sollte da eine 2 stehen.
Ausserdem kann man [mm] \bruch{sin(\mu)}{cos(\mu)} [/mm] noch durch [mm] tan(\mu) [/mm] ersetzen.
Für den Betrag des relativen Fehlers ist dann
auch das Vorzeichen unerheblich und man hat:
[mm]\left|\bruch{\Delta{T}}{T}\right| \approx \bruch{1}{2}tan(\mu) \Delta \mu [/mm]
> So, und jetzt habe ich aber irgendwie ein Problem, eine
> Abschätzung zu bekommen. Ich denke mal, ich soll dafür
> diese neu gewonnene Formel benutzen, aber da bekomme ich
> doch nur einen Wert heraus,
Mir scheint es auch naheliegend, einmal die hergeleitete
Formel auf das Beispiel anzuwenden.
[mm] \bruch{\pi}{180}ist [/mm] ja für "gewöhnliche" Zwecke ein
"kleiner" Winkel.
> oder muss ich nun einmal - [mm]\Delta \mu[/mm] und + [mm]\Delta \mu[/mm] einsetzen?
Auch das würde ich so machen. Da die cos-Funktion im
betrachteten Bereich streng monoton ist, ergeben sich
die grössten Abweichungen in T, wenn [mm] \mu [/mm] die maximale
Abweichung nach oben oder unten hat. D.h. hier [mm] \mu=31°
[/mm]
oder [mm] \mu=29° [/mm] anstatt [mm] \mu=30°. [/mm] Die grössere der beiden
Abweichungen ergibt sich bei [mm] \mu=31°. [/mm] Der Betrag des
relativen Fehlers ist dann:
[mm]\ \left| \bruch{\Delta T}{T} \right|_{max}= \bruch{\wurzel{cos(31°)}-\wurzel{cos(30°)}}{\wurzel{cos(30°)}} \approx 0.00513 [/mm]
Dies ist geringfügig grösser als der vorher berechnete Wert.
Hier noch den Mittelwertsatz zu bemühen, scheint mir eine
fast ein wenig übertriebene Komplikation.
LG al-Chwarizmi
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Hallo,
danke erstmal für die lange Antwort
Aber wie kommst du denn auf:
. D.h. hier
> [mm]\mu=31°[/mm]
> oder [mm]\mu=29°[/mm] anstatt [mm]\mu=30°.[/mm] Die grössere der
> beiden
> Abweichungen ergibt sich bei [mm]\mu=31°.[/mm]
Wo kommen denn diese 30°-Winkel und so plötzlich her? Sorry, da konnte ich jetzt grad nicht folgen.
Der Betrag des relativen Fehlers ist dann:
>
> [mm]\ \left| \bruch{\Delta T}{T} \right|_{max}= \bruch{\wurzel{cos(31°)}-\wurzel{cos(30°)}}{\wurzel{cos(30°)}} \approx 0.00513[/mm]
Ok, hast Du da oben gerechnet:
[mm] \Delta [/mm] T:= [mm] (2*\pi(\bruch{L}{g}*cos(\bruch{\pi}{6}+\bruch{\pi}{180})^{1/2})-((2*\pi(\bruch{L}{g}*cos(\bruch{\pi}{6})^{1/2})
[/mm]
und das Ergebnis davon dann durch [mm] T(\mu) [/mm] geteilt. Ist das so richtig? Kürzen sich dann [mm] \bruch{L}{g} [/mm] irgendwie weg? Denn die kennen wir doch gar nicht...?
Gruß,
Anna
>
> LG al-Chwarizmi
>
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> Hallo,
>
> danke erstmal für die lange Antwort
> Aber wie kommst du denn auf:
>
>
> . D.h. hier
> > [mm]\mu=31°[/mm]
> > oder [mm]\mu=29°[/mm] anstatt [mm]\mu=30°.[/mm] Die grössere der
> > beiden
> > Abweichungen ergibt sich bei [mm]\mu=31°.[/mm]
>
> Wo kommen denn diese 30°-Winkel und so plötzlich her?
> Sorry, da konnte ich jetzt grad nicht folgen.
[mm] \bruch{\pi}{6}=30°\quad ,\quad \bruch{\pi}{180}=1°
[/mm]
>
>
> Der Betrag des relativen Fehlers ist dann:
> >
> > [mm]\ \left| \bruch{\Delta T}{T} \right|_{max}= \bruch{\wurzel{cos(31°)}-\wurzel{cos(30°)}}{\wurzel{cos(30°)}} \approx 0.00513[/mm]
>
>
> Ok, hast Du da oben gerechnet:
>
> [mm]\Delta[/mm] T:=
> [mm](2*\pi(\bruch{L}{g}*cos(\bruch{\pi}{6}+\bruch{\pi}{180})^{1/2})-((2*\pi(\bruch{L}{g}*cos(\bruch{\pi}{6})^{1/2})[/mm]
>
> und das Ergebnis davon dann durch [mm]T(\mu)[/mm] geteilt. Ist das
> so richtig? Kürzen sich dann [mm]\bruch{L}{g}[/mm] irgendwie weg?
Im Prinzip ja.
> Denn die kennen wir doch gar nicht...?
Ich habe mir überlegt, dass alle die Faktoren
[mm] (L,g,\pi,2) [/mm] für die Berechnung des relativen
Fehlers gar keine Rolle spielen können. Sie
kürzen sich alle raus. Also habe ich sie gleich
weggelassen. Der wesentliche Ausdruck ist
[mm] \wurzel{cos(\mu)}.
[/mm]
Schönen Abend !
al-Chwarizmi
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