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| Aufgabe | 1) In einem rechtwinkligen Dreieck (ROS) kenn man die Länge r (cm) der horizontalen Kathete RO exakt, den Winkel [mm] (ORS)=\alpha [/mm] (rad) aber nur mit dem absoluten Fehler [mm] \Delta \alpha [/mm] (rad). Die Länge L der vertikalen Kathete OS kann daraus nur mit einem gewissen absoluten Fehler [mm] \Delta [/mm] L ermittelt werden, der bestimmt werden soll.
a) Bestimmen Sie den Ausdruck A, der den Wert [mm] \Delta [/mm] L in 1. Näherung angibt: [mm] \Delta [/mm] L = A ( in erster Näherung)
b) Berechnen Sie nach a) den Wert [mm] \Delta [/mm] L in Näherung für die Daten r=10 cm, [mm] \alpha=60°=\pi/3 [/mm] (rad) und [mm] \Delta \alpha=(1/2)=\pi/180. [/mm] Berechnen Sie auch L. |
Hallo,
hier soll man also den Fehler in der ersten Näherung berechnen, also, wie ich aus der Vorlesung weiß, mit der Small-change-Formel... aber irgendwie sehe ich das hier mal wieder gar nicht, wie man die anwenden kann...?? Ich habe doch keine Funktion....?????
Wäre super, wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte.
Small-Change-Formel:
[mm] \Delta y\approx [/mm] y'(x)* [mm] \Delta [/mm] x
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mo 29.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> 1) In einem rechtwinkligen Dreieck (ROS) kenn man die Länge
> r (cm) der horizontalen Kathete RO exakt, den Winkel
> [mm](ORS)=\alpha[/mm] (rad) aber nur mit dem absoluten Fehler [mm]\Delta \alpha[/mm]
> (rad). Die Länge L der vertikalen Kathete OS kann daraus
> nur mit einem gewissen absoluten Fehler [mm]\Delta[/mm] L ermittelt
> werden, der bestimmt werden soll.
>
> a) Bestimmen Sie den Ausdruck A, der den Wert [mm]\Delta[/mm] L in
> 1. Näherung angibt: [mm]\Delta[/mm] L = A ( in erster Näherung)
>
> b) Berechnen Sie nach a) den Wert [mm]\Delta[/mm] L in Näherung für
> die Daten r=10 cm, [mm]\alpha=60°=\pi/3[/mm] (rad) und [mm]\Delta \alpha=(1/2)=\pi/180.[/mm]
> Berechnen Sie auch L.
> Hallo,
>
> hier soll man also den Fehler in der ersten Näherung
> berechnen, also, wie ich aus der Vorlesung weiß, mit der
> Small-change-Formel... aber irgendwie sehe ich das hier mal
> wieder gar nicht, wie man die anwenden kann...?? Ich habe
> doch keine Funktion....?????
> Wäre super, wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte.
> Small-Change-Formel:
> [mm]\Delta y\approx[/mm] y'(x)* [mm]\Delta[/mm] x
>
> Viele Grüße,
> Anna
ich würde es so versuchen
mit L = [mm] r\cdot tan\alpha [/mm] hast du [mm] \Delta [/mm] L = [mm] r\frac{\partial L}{\partial \alpha}\Delta \alpha\approx [/mm] 0.35 mit [mm] \Delta\alpha =\frac{1}{2}=\frac{\pi}{360}
[/mm]
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Hallo,
ja, so in der Art wollte ich das ja auch erst rechnen, aber wir sollten eben explizit die Small-change-Formel dafür anwenden...
Also, ich hab hier in meinen Aufzeichnungen sowas gefunden..:
tan [mm] \alpha [/mm] = L/r [mm] \gdw [/mm] r*tan [mm] \alpha [/mm] =L
r*tan( [mm] \alpha\pm \Delta \alpha )=L\pm \Delta [/mm] L
Das verstehe ich ja noch.
und dann mit der Small Change-Formel:
[mm] \Delta L=L'(\alpha)*(\pm\alpha)
[/mm]
[mm] L'(\alpha)=r*(1+tan^{2}\alpha)
[/mm]
[mm] \pm \Delta L=r*(1+tan^{2}\alpha)(\pm \Delta \alpha)
[/mm]
Das ist die fertige Abschätzung. Aber wie kommt man auf die letzten drei Zeilen????
Kann mir da jemand einen Tipp geben???
Wäre super!!
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 29.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo,
> ja, so in der Art wollte ich das ja auch erst rechnen,
> aber wir sollten eben explizit die Small-change-Formel
> dafür anwenden...
> Also, ich hab hier in meinen Aufzeichnungen sowas
> gefunden..:
>
> tan [mm]\alpha[/mm] = L/r [mm]\gdw[/mm] r*tan [mm]\alpha[/mm] =L
>
> r*tan( [mm]\alpha\pm \Delta \alpha )=L\pm \Delta[/mm] L
>
> Das verstehe ich ja noch.
>
> und dann mit der Small Change-Formel:
>
> [mm]\Delta L=L'(\alpha)*(\pm\alpha)[/mm]
>
> [mm]L'(\alpha)=r*(1+tan^{2}\alpha)[/mm]
>
> [mm]\pm \Delta L=r*(1+tan^{2}\alpha)(\pm \Delta \alpha)[/mm]
>
> Das ist die fertige Abschätzung. Aber wie kommt man auf die
> letzten drei Zeilen????
> Kann mir da jemand einen Tipp geben???
> Wäre super!!
> Viele Grüße,
> Anna
das ist doch eh dasselbe wie ich oben hingemalt habe
[mm] \Delta L=\frac{\partial L}{\partial\alpha}\Delta\alpha=\frac{r}{cos^2\alpha}\cdot \Delta\alpha
[/mm]
mit der elementaren umformung [mm] cos^2\alpha=\frac{1}{1+tan^2\alpha}
[/mm]
also mache es nun "so in der art"
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Hm, ja ok. Aber diese drei Schritte in meiner Frage eben verstehe ich trotzdem nicht... oder wenn es das gleiche ist bei Dir, dann verstehe ich die eben auch nicht. Was ist denn dieses [mm] \partial [/mm] plötzlich?? Wie ist da die Vorgehensweise?? Ich verstehe den Sinn nicht....
Vielleicht kann mir das jemand nochmal erklären...??!???!??
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 29.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hm, ja ok. Aber diese drei Schritte in meiner Frage eben
> verstehe ich trotzdem nicht... oder wenn es das gleiche ist
> bei Dir, dann verstehe ich die eben auch nicht. Was ist
> denn dieses [mm]\partial[/mm] plötzlich?? Wie ist da die
> Vorgehensweise?? Ich verstehe den Sinn nicht....
> Vielleicht kann mir das jemand nochmal
> erklären...??!???!??
> Gruß,
> Anna
das ist die partielle ableitung von L nach [mm] \alpha [/mm] bei dir [mm] L^\prime [/mm] genannt
(r wird dabei konstant gehalten).
[mm] L=r\cdot tan\alpha \to L^\prime =\frac{r}{cos^2\alpha}=r(1+tan^2\alpha)
[/mm]
und das setzt du nun einfach ein in [mm] \pm\Delta L=L^\prime\cdot (\pm\Delta\alpha)
[/mm]
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