Fehler 2. Art < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 29.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Hypothese p [mm] \ge [/mm] 0,25 soll getestet werden auf einem 10%-Signifikanzniveau. Es werden 500 Personen befragt. Es soll eine Wahrscheinlichkeit von p= 0,2 gelten.
Zusatz (auf besonderen Wunsch):
Es handelt sich bei dieser Aufgabe um eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit der Trefferwahrscheinlichkeit [mm] p\ge [/mm] 0,25.
Wie groß ist der [mm] \beta-Fehler? [/mm] |
Moin, moin,
ich habe nun mehrere Verfahren zur Berechnung des [mm] \beta-Fehlers [/mm] kennen gelernt, daher weiss ich, [mm] \beta \approx [/mm] 8%.
Leider habe ich es auf dem folgenden Weg nur zu 92% gebracht.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
zunächst folgt aus dem Modell...
[mm] H_0 [/mm] : [mm] p\ge [/mm] 0,25
[mm] \mu [/mm] = 125 [mm] \sigma [/mm] = 9,68
z = 1,28 (entspricht dem 10%-Signifikanzniveau beimeinseitigen Test!)
=> Annahmebereich [113;500]
[mm] \beta [/mm] = [mm] P_{0,2}(112,5 \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 500)
Da p= 0,2 gilt, wird nun neu berechnet.
[mm] \mu_{neu} [/mm] = 100 [mm] \sigma_{neu} [/mm] =8,94
Die Randwerte des Intervalls 112,5 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 500 lassen sich mithilfe von [mm] \mu_{neu} [/mm] und [mm] \sigma_{neu} [/mm] beschreiben:
[mm] [\mu_{neu} [/mm] - [mm] c*\sigma_{neu} [/mm] ; [mm] \mu_{neu} [/mm] - [mm] c*\sigma_{neu}]
[/mm]
a = [mm] \mu_{neu} [/mm] - [mm] c*\sigma_{neu} [/mm] b = [mm] \mu_{neu} [/mm] + [mm] c*\sigma_{neu}
[/mm]
112,5 = 100 - 8,94*c 500,5 = 100 +8,94*c
=> c= 1,40 c= 44,78
Die Tabelle "Wahrscheinlichkeiten von [mm] \sigma-Umgebungen" [/mm] liefert Ergebnisse von symmetrischen [mm] \sigma-Umgebungen...
[/mm]
[mm] P(\mu_{neu} [/mm] - [mm] 1,40*\sigma_{neu} \le [/mm] X [mm] \le \mu_{neu} [/mm] + [mm] 1,40*\sigma_{neu}) \approx [/mm] 0,839
[mm] P(\mu_{neu} [/mm] - [mm] 44,8*\sigma_{neu} \le [/mm] X [mm] \le \mu_{neu} [/mm] + [mm] 44,8*\sigma_{neu}) \approx [/mm] 1
=> ß = [mm] P(\mu [/mm] - [mm] 1,40*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] 44,8*\sigma)
[/mm]
ß = [mm] \bruch{0,839}{2} [/mm] + [mm] \bruch{01}{2} [/mm] = 0,9195
ß = 0,928
Eigentlich müsste ca. 8% herauskommen! Was mache ich falsch?
Danke & Gruß!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 So 29.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi hase-hh,
> DIe Hypothese p [mm]\ge[/mm] 0,25 soll getestet werden auf einem
> 10%-Signifikanzniveau. Es werden 500 Personen befragt. Es
> soll eine Wahrscheinlichkeit von p= 0,2 gelten.
>
Man kann,wenn man sich ein kleines bischen Mühe gibt nachvollziehen, dass du den Parameter p einer Binomialverteilung testen willst und das mit Hilfe einer Annährung durch die Standardnomalverteilung. Du solltest aber besser so tun, als wüden wir die Aufgabe nicht kennen und auch nicht Gedankenlesen können. Schreib solche Infos besser hin, dann bekommst du auch schneller eine Anwort.
>
>
> Wie groß ist der [mm]\beta-Fehler?[/mm]
> Moin, moin,
>
> ich habe nun mehrere Verfahren zur Berechnung des
> [mm]\beta-Fehlers[/mm] kennen gelernt, daher weiss ich, [mm]\beta \approx[/mm]
> 8%.
>
> Leider habe ich es auf dem folgenden Weg nur zu 92%
> gebracht.
>
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>
>
> zunächst folgt aus dem Modell...
>
> [mm]H_0[/mm] : [mm]p\ge[/mm] 0,25
>
> [mm]\mu[/mm] = 125 [mm]\sigma[/mm] = 9,68
>
> z = 1,28 (entspricht dem 10%-Signifikanzniveau
> beimeinseitigen Test!)
>
> => Annahmebereich [113;500]
>
> [mm]\beta[/mm] = [mm]P_{0,2}(112,5 \le[/mm] X [mm]\le[/mm] 500)
Soweit, so gut, aber jetzt machst du es meiner Meinung nach komplizierter als nötig, deswegen schleicht sich ein Fehler ein.
>
> Da p= 0,2 gilt, wird nun neu berechnet.
>
> [mm]\mu_{neu}[/mm] = 100 [mm]\sigma_{neu}[/mm] =8,94
>
> Die Randwerte des Intervalls 112,5 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 500 lassen
> sich mithilfe von [mm]\mu_{neu}[/mm] und [mm]\sigma_{neu}[/mm] beschreiben:
>
> [mm][\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}[/mm] ; [mm]\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}][/mm]
>
>
> a = [mm]\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}[/mm] b = [mm]\mu_{neu}[/mm] +
> [mm]c*\sigma_{neu}[/mm]
>
> 112,5 = 100 - 8,94*c 500,5 = 100 +8,94*c
>
> => c= 1,40 c= 44,78
>
>
> Die Tabelle "Wahrscheinlichkeiten von [mm]\sigma-Umgebungen"[/mm]
> liefert Ergebnisse von symmetrischen [mm]\sigma-Umgebungen...[/mm]
>
> [mm]P(\mu_{neu}[/mm] - [mm]1,40*\sigma_{neu} \le[/mm] X [mm]\le \mu_{neu}[/mm] +
> [mm]1,40*\sigma_{neu}) \approx[/mm] 0,839
> [mm]P(\mu_{neu}[/mm] - [mm]44,8*\sigma_{neu} \le[/mm] X [mm]\le \mu_{neu}[/mm] +
> [mm]44,8*\sigma_{neu}) \approx[/mm] 1
>
> => ß = [mm]P(\mu[/mm] - [mm]1,40*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]44,8*\sigma)[/mm]
Nee, du hattest doch für c=1,4 nicht c=-1,4 ,d.h. [mm] \beta=P(\mu\red{+} 1,40*\sigma \le X\le\mu+44,8*\sigma)
[/mm]
>
> ß = [mm]\bruch{0,839}{2}[/mm] + [mm]\bruch{01}{2}[/mm] = 0,9195
>
> ß = 0,928
>
> Eigentlich müsste ca. 8% herauskommen! Was mache ich
> falsch?
>
Ich hätte direkt oben bei [mm] P(113\le X\le 500)=1-P(X\le [/mm] 112) geschrieben, dann mußt du nur eine W'keit mit der Approximation ausrechnen.
>
> Danke & Gruß!!
>
Lg walde
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 29.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
Moin lieber Walde und ein Gruß auch an alle anderen!
>
> Man kann,wenn man sich ein kleines bischen Mühe gibt
> nachvollziehen, dass du den Parameter p einer
> Binomialverteilung testen willst und das mit Hilfe einer
> Annährung durch die Standardnomalverteilung. Du solltest
> aber besser so tun, als wüden wir die Aufgabe nicht kennen
> und auch nicht Gedankenlesen können. Schreib solche Infos
> besser hin, dann bekommst du auch schneller eine Anwort.
>
Sei versichert,ich gebe mir auch Mühe. Viel Mühe. Im Übrigen kann man mir in der Regel meine Motive direkt vom Gesicht ablesen (bin wie ein offenes Buch). Insofern ist das Gedankenlesen in der Regel nicht notwendig, wenn auch etwas Faszinierendes. Aber das alles natürlich am Rande. 
Gerne gebe ich alle notwendigen Informationen... richtig, es handelt sich um eine Binomialverteilte Zufallsgröße.
> >
> > Wie groß ist der [mm]\beta-Fehler?[/mm]
> > Moin, moin,
> >
> > ich habe nun mehrere Verfahren zur Berechnung des
> > [mm]\beta-Fehlers[/mm] kennen gelernt, daher weiss ich, [mm]\beta \approx[/mm]
> > 8%.
> >
> > Leider habe ich es auf dem folgenden Weg nur zu 92%
> > gebracht.
> >
> > Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
> >
> >
> > zunächst folgt aus dem Modell...
> >
> > [mm]H_0[/mm] : [mm]p\ge[/mm] 0,25
> >
> > [mm]\mu[/mm] = 125 [mm]\sigma[/mm] = 9,68
> >
> > z = 1,28 (entspricht dem 10%-Signifikanzniveau
> > beimeinseitigen Test!)
> >
> > => Annahmebereich [113;500]
> >
> > [mm]\beta[/mm] = [mm]P_{0,2}(112,5 \le[/mm] X [mm]\le[/mm] 500)
>
> Soweit, so gut, aber jetzt machst du es meiner Meinung nach
> komplizierter als nötig, deswegen schleicht sich ein
> Fehler ein.
>
> >
> > Da p= 0,2 gilt, wird nun neu berechnet.
> >
> > [mm]\mu_{neu}[/mm] = 100 [mm]\sigma_{neu}[/mm] =8,94
> >
> > Die Randwerte des Intervalls 112,5 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 500 lassen
> > sich mithilfe von [mm]\mu_{neu}[/mm] und [mm]\sigma_{neu}[/mm] beschreiben:
>
>
> >
> > [mm][\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}[/mm] ; [mm]\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}][/mm]
> >
> >
> > a = [mm]\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}[/mm] b = [mm]\mu_{neu}[/mm] +
> > [mm]c*\sigma_{neu}[/mm]
> >
> > 112,5 = 100 - 8,94*c 500,5 = 100 +8,94*c
> >
> > => c= 1,40 c= 44,78
> >
Stimmt, hier ist
c= - 1,40
> > => ß = [mm]P(\mu[/mm] - [mm]1,40*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]44,8*\sigma)[/mm]
>
> Nee, du hattest doch für c=1,4 nicht c=-1,4 ,d.h.
> [mm]\beta=P(\mu\red{+} 1,40*\sigma \le X\le\mu+44,8*\sigma)[/mm]
>
Daran schließt sich gleich eine Frage an, wie kann ich mithilfe der Wahrscheinlichkeitstabelle für [mm] \sigma-Umgebungen [/mm] , negative Werte "verarbeiten" ?
Ist das (analog zur Normalverteilung) auch:
P(-z) = 1 - P(z) mit P(z) = [mm] P(\mu [/mm] - [mm] z*\sigma; \mu +z*\sigma) [/mm] ???
oder übernehme ich einfach das negative Vorzeichen in die weitere Rechnung?
> > Die Tabelle "Wahrscheinlichkeiten von [mm]\sigma-Umgebungen"[/mm]
> > liefert Ergebnisse von symmetrischen [mm]\sigma-Umgebungen...[/mm]
> >
> > [mm]P(\mu_{neu}[/mm] - [mm]1,40*\sigma_{neu} \le[/mm] X [mm]\le \mu_{neu}[/mm] +
> > [mm]1,40*\sigma_{neu}) \approx[/mm] 0,839
> > [mm]P(\mu_{neu}[/mm] - [mm]44,8*\sigma_{neu} \le[/mm] X [mm]\le \mu_{neu}[/mm] +
> > [mm]44,8*\sigma_{neu}) \approx[/mm] 1
>
>
>
>
> >
>
>
> >
> > ß = [mm]\bruch{0,839}{2}[/mm] + [mm]\bruch{01}{2}[/mm] = 0,9195
>
>
>
> >
> > ß = 0,928
> >
> > Eigentlich müsste ca. 8% herauskommen! Was mache ich
> > falsch?
> >
>
> Ich hätte direkt oben bei [mm]P(113\le X\le 500)=1-P(X\le[/mm] 112)
> geschrieben, dann mußt du nur eine W'keit mit der
> Approximation ausrechnen.
>
>
> >
> > Danke & Gruß!!
> >
>
> Lg walde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 So 29.01.2012 | | Autor: | Walde |
> Moin lieber Walde und ein Gruß auch an alle anderen!
Hi nochmal,
>
> >
> > Man kann,wenn man sich ein kleines bischen Mühe gibt
> > nachvollziehen, dass du den Parameter p einer
> > Binomialverteilung testen willst und das mit Hilfe einer
> > Annährung durch die Standardnomalverteilung. Du solltest
> > aber besser so tun, als wüden wir die Aufgabe nicht kennen
> > und auch nicht Gedankenlesen können. Schreib solche Infos
> > besser hin, dann bekommst du auch schneller eine Anwort.
> >
>
> Sei versichert,ich gebe mir auch Mühe. Viel Mühe. Im
> Übrigen kann man mir in der Regel meine Motive direkt vom
> Gesicht ablesen (bin wie ein offenes Buch). Insofern ist
> das Gedankenlesen in der Regel nicht notwendig, wenn auch
> etwas Faszinierendes. Aber das alles natürlich am Rande.
>
Ach, da hast du mich mißverstanden. Dass du dir Mühe gibst, glaube ich sofort. Ich meinte nur: die Helfer müssen sich die Mühe machen und die Infos erst "erraten", wenn du sie nicht hinschreibst. Das macht man halt nicht so gern.
>
> Gerne gebe ich alle notwendigen Informationen... richtig,
> es handelt sich um eine Binomialverteilte Zufallsgröße.
>
>
> > >
> > > Wie groß ist der [mm]\beta-Fehler?[/mm]
> > > Moin, moin,
> > >
> > > ich habe nun mehrere Verfahren zur Berechnung des
> > > [mm]\beta-Fehlers[/mm] kennen gelernt, daher weiss ich, [mm]\beta \approx[/mm]
> > > 8%.
> > >
> > > Leider habe ich es auf dem folgenden Weg nur zu 92%
> > > gebracht.
> > >
> > > Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
> > >
> > >
> > > zunächst folgt aus dem Modell...
> > >
> > > [mm]H_0[/mm] : [mm]p\ge[/mm] 0,25
> > >
> > > [mm]\mu[/mm] = 125 [mm]\sigma[/mm] = 9,68
> > >
> > > z = 1,28 (entspricht dem 10%-Signifikanzniveau
> > > beimeinseitigen Test!)
> > >
> > > => Annahmebereich [113;500]
> > >
> > > [mm]\beta[/mm] = [mm]P_{0,2}(112,5 \le[/mm] X [mm]\le[/mm] 500)
> >
> > Soweit, so gut, aber jetzt machst du es meiner Meinung nach
> > komplizierter als nötig, deswegen schleicht sich ein
> > Fehler ein.
> >
> > >
> > > Da p= 0,2 gilt, wird nun neu berechnet.
> > >
> > > [mm]\mu_{neu}[/mm] = 100 [mm]\sigma_{neu}[/mm] =8,94
> > >
> > > Die Randwerte des Intervalls 112,5 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 500 lassen
> > > sich mithilfe von [mm]\mu_{neu}[/mm] und [mm]\sigma_{neu}[/mm] beschreiben:
> >
> >
> > >
> > > [mm][\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}[/mm] ; [mm]\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}][/mm]
> > >
> > >
> > > a = [mm]\mu_{neu}[/mm] - [mm]c*\sigma_{neu}[/mm] b = [mm]\mu_{neu}[/mm] +
> > > [mm]c*\sigma_{neu}[/mm]
> > >
> > > 112,5 = 100 - 8,94*c 500,5 = 100 +8,94*c
> > >
> > > => c= 1,40 c= 44,78
> > >
>
> Stimmt, hier ist
> c= - 1,40
Seh ich jetzt erst, dass du den falschen Ansatz hattest.(und dann falsch weiter gerechnet zum richtigen Ergebnis )
Um nochmal sicher zu gehen: Weil 112,5 ja rechts und nicht links vom Erwartungswert liegt, d.h. 112,5 enspricht einer rechten, nicht einer linken Intervallgrenze, mußt du mit [mm] 112,5=100\red{+}8,95*\sigma [/mm] ansetzen.
>
> > > => ß = [mm]P(\mu[/mm] - [mm]1,40*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]44,8*\sigma)[/mm]
> >
> > Nee, du hattest doch für c=1,4 nicht c=-1,4 ,d.h.
> > [mm]\beta=P(\mu\red{+} 1,40*\sigma \le X\le\mu+44,8*\sigma)[/mm]
>
> >
>
>
> Daran schließt sich gleich eine Frage an, wie kann ich
> mithilfe der Wahrscheinlichkeitstabelle für
> [mm]\sigma-Umgebungen[/mm] , negative Werte "verarbeiten" ?
>
> Ist das (analog zur Normalverteilung) auch:
>
> P(-z) = 1 - P(z) mit P(z) = [mm]P(\mu[/mm] - [mm]z*\sigma; \mu +z*\sigma)[/mm]
So wie es hier defniert ist, machen negative z Werte nicht viel Sinn.
Die W'keiten kommen ja von der Standardnormalverteilung (sind also Nährungswerte), nehme ich mal an (ich kenne ja eure Tabelle nicht).
Dann ist also [mm] P(z)=\Phi(z)-\Phi(-z) [/mm] und [mm] \Phi [/mm] die Vert.fkt. der Std.nrm.vert.
Dann wäre [mm] P(-z)=\Phi(-z)-\Phi(z)=-P(z) [/mm] würde also keinen Sinn machen(negative Wahrscheinlichkeit). Ist leicht einzusehen, da es ja um ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert (=0) geht und ein Intervall bei dem die linke Grenze größer ist, als die Rechte, macht keinen Sinn.
Benutzt ihr denn keine W'keitstabelle, so wie zB ![[]](/images/popup.gif) diese? Das wäre m.E. einfacher, weil man nicht soviel umrechnen muß.
> ???
>
> oder übernehme ich einfach das negative Vorzeichen in die
> weitere Rechnung?
LG walde
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