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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Faustregelansatz
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Faustregelansatz: Wie funktioniert das genau?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Do 22.05.2008
Autor: HAWRaptor

Aufgabe
y'''(x) + 25 y'(x) = sin(5x) - 200 x

Hallo,
ich hatte heute die Vorlesung zum Thema Faustregelansatz und möchte diese Aufgabe gern rechnen.
Zuerst habe ich die homogene Diff'glg gelöst:
y0 = C1 + C2 cos(5x) + C3 sin(5x)

Dann wollte ich mit Hilfe des Faustregelansatzes weiterrechnen:
yp = A sin(5x) + B cos(5x) - Cx + D
yp' = 5 A cos(5x) - 5 B sin(5x) - C
yp'' = -25 A sin(5x) - 25B cos(5x)
yp''' = -125 A cos(5x) + 125 B sin(5x)

Eingesetzt in Ausgangsgleichung liefert
-25 C = sin(5x) - 200 x

Und nun? irgendwie hänge ich total. So komme ich ja nie an A, B, C und D ran? Danke schonmal!

Diese Frage habe ich nirgendwo sonst gestellt.
        
Bezug
Faustregelansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Do 22.05.2008
Autor: Herby

Hallo Benjamin,

deine Lösung für die homogene DGL ist korrekt [daumenhoch]


Den Lösungsansatz für die Störfunktion müsstest du mit einem [mm] \text{x} [/mm] multiplizieren, aus den folgenden Gründen:

a) - deine Störfunktion enthält ja in der Sinusfunktion den Faktor 5; wenn nun 5i eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung ist (und das ist hier der Fall), dann ist der Ansatz mit [mm] x^r [/mm] zu multiplizieren.

Allg.: Störfunktion [mm] g(x)=A*sin(\beta*x) [/mm] und [mm] \beta*i [/mm] ist r-fache Lösung, dann [mm] x^r*(D_1*sin(\beta*x)+D_2*cos(\beta*x)) [/mm]

b) In deiner DGL fehlt sowohl y'' als auch y, das liegt daran, dass die Faktoren [mm] a_2=0 [/mm] für y'' und [mm] a_\red{0}=0 [/mm] für y sind - letzteres hat wiederum Auswirkungen auf den Ansatz deiner Lösungsfunktion, indem du mit einem [mm] x^{\red{0}+1}=x [/mm] für [mm] a_0=0 [/mm] multiplizieren musst.

Allg.: Sind [mm] a_n=a_{n-1}=...=a_1=a_0=\red{0} [/mm] so ist der Ansatz mit [mm] x^{n+1} [/mm] zu multiplizieren.


Probier es mal damit und meld dich bei weiteren Schwierigkeiten.

Viel Erfolg [kleeblatt]


Liebe Grüße
Herby
Bezug
                
Bezug
Faustregelansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Fr 23.05.2008
Autor: HAWRaptor

Hallo,
ich hatte heute die Übung und da hat man mir auch diesen Ansatz genannt, den du unten geschrieben hast. Konnte mit dem Resonanzfall nicht so wirklich was anfangen. Trotzdem vielen Dank!!!
Bezug
                        
Bezug
Faustregelansatz: weitere Fragen?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Fr 23.05.2008
Autor: Herby

Hallo,

wenn du noch Fragen dazu hast, dann frag. Wir erklären gerne und hoffen immer zum Verständnis beitragen zu können - nur zu :-)


Lg
Herby
Bezug
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