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Fast überall Eigenschaften: Positive Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Mi 19.01.2011
Autor: Griesig

Aufgabe
Beweisen oder wiederlegen Sie:

Ist f stetig und f>0 [mm] $\lambda$-fast [/mm] überall, dann ist f>0.




Hallo zusammen!

Ich stehe vor dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich habe mir bisher folgendes überlegt. f ist stetig und in [mm] $x\in\mathbb{R}\setminus [/mm] N$ gilt f(x)>0, dann gibt es aber, da N eine Nullmenge ist,in jeder Umgebung U(z) von $z [mm] \in [/mm] N$ ein [mm] $x\mathbb{R}\setminus [/mm] N$ so dass:

$|f(x)-f(z)|<f(x)/2$

ist. Somit wäre die Aussage doch bewiesen oder?

        
Bezug
Fast überall Eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mi 19.01.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

dein Beweis hat einen Fehler.
Denn woher weisst du, dass dein x dann auch  (bzw überhaupt) in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] zu [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{f(x)}{2}$ [/mm] liegt?

Desweiteren ist die Aussage falsch.

Erinner dich mal dran, dass jede Einpunktmenge eine [mm] $\lambda$-Nullmenge [/mm] ist.
Gibt es denn nun Funktionen, die nur in Einzelnen Punkten [mm] \le [/mm] 0 aber sonst > Null sind?

edit: Man kann den Satz sogar verallgemeinern zu:

"Ist f eine stetige Funktion und [mm] $\{f=0\}$ [/mm] eine [mm] $\lambda$-Nullmenge, [/mm] so widerlegt |f| die Aussage."

Mach dir mal klar warum ;-)

MFG,
Gono.

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