Farbfreiheit beim Schafkopf < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Community,
ich möchte derzeit eine Spielstrategie für´s Schafkopfen auf mathematischer Basis entwickeln.
Dazu vorneweg: IHR KÖNNT MIR AUCH HELFEN, WENN IHR KEINE AHNUNG VON DEN REGELN HABT. Ich werde alles wichtige beschreiben.
Konkret interessiert mich derzeit folgende Frage:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gegner Farbfrei beim Sauspiel ist, wenn ich n Karten einer Farbe halte.
Zu den Parametern:
Beim Schafkopf gibt es 32 Karten. Es gibt 4 Spieler.
Jeder der Spieler erhält am Anfang 8 Karten.
Es gibt 4 Farben (Eichel, Laub, Herz, Schell). Also besitzt jede Farbe grundsätzlich 8 Karten. Da die Frage aber speziell auf ein Sauspiel abzielt sei gesagt, dass aufgrund von Trümpfen die Farben Eichel, Laub und Schell nur 6 Karten besitzen. (Ober und Unter sind Trümpfe, werden deshalb nicht als "Farbe" gezählt)
Bei einem Sauspiel rufe ich eine Farbe (z.B. Laub), derjenige Spieler mit dem Laub-Ass ist mein Mitspieler. Die beiden anderen unsere Gegner.
Ich möchte euch jetzt exemplarisch meine Rechnung für n=3 wiedergeben.
Die Farbe nehme ich als Laub an.
Ich bin mir dabei aber nicht sicher, ob meine Rechnung stimmt.
Wenn ich 3 mal Laub habe, dann stehen meinen Gegnern noch 3 mal Laub zur Verfügung.
Habe ich 3 mal Laub, dann habe ich automatisch 5 mal nicht-Laub um meine 8 Karten zu komplementieren.
Nun gibt es nach meiner Rechnung 6 Möglichkeiten, wie sich die Hände der Gegner darstellen können.
1.) Mitspieler 1*Laub, Gegner A 1*Laub, Gegner B 1*Laub
2.) Mitspieler 1*Laub, Gegner A 2*Laub, Gegner B 0*Laub
3.) Mitspieler 1*Laub, Gegner A 0*Laub, Gegner B 2*Laub
4.) Mitspieler 2*Laub, Gegner A 1*Laub, Gegner B 0*Laub
5.) Mitspieler 2*Laub, Gegner A 0*Laub, Gegner B 1*Laub
6.) Mitspieler 3*Laub, Gegner A 0*Laub, Gegner B 0*Laub
Im Prinzip hilft mir Fall 1, die Fälle 2-5 sind schlecht, da einer der Gegner Farbfrei ist.
für meine Wahrscheinlichkeit "Gegner 0*Laub" Laub gilt dann.
[mm] p=\bruch{Kombinationen Fälle 2-5}{Kombinationen Fälle 1-6}
[/mm]
Für die Fälle stehen meiner Meinung nach nur noch 24 Karten zur Verfügung, da ich meine eigenen 8 Karten kenne.
Für Fall 1 nehme ich folgendes an:
Die Hand meines Mitspielers sieht wie folgt aus: L X X X X X X X (L = Laub, X=Unbekannt).
Somit fehlen 7 Karten um seine Hand zu vervollständigen.
Diese 7 Karten werden aus 21 gezogen. (24 Unbekannt, davon 3 Laub, welche bei den Gegner liegen müssen)
Synchron zu dieser Logik folgt am Ende:
p = [mm] \bruch{2*\vektor{21 \\ 7}+2*\vektor{21 \\ 6}+\vektor{21 \\ 5}}{3*\vektor{21 \\ 7}+2*\vektor{21 \\ 6}+\vektor{21 \\ 5}}
[/mm]
=75,659%
Meine Frage an euch: Ist es richtig, wie ich das Ganze rechne?
Ist es richtig, dass ich am Ende nur noch die Möglichkeiten ohne meine 8 Karten nehme oder muss ich durch [mm] \vektor{32 \\ 8} [/mm] teilen, was ja alle meine Anfangskombinationen wären.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 27.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hallo Community,
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> ich möchte derzeit eine Spielstrategie für´s Schafkopfen
> auf mathematischer Basis entwickeln.
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> Dazu vorneweg: IHR KÖNNT MIR AUCH HELFEN, WENN IHR KEINE
> AHNUNG VON DEN REGELN HABT. Ich werde alles wichtige
> beschreiben.
>
> Konkret interessiert mich derzeit folgende Frage:
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gegner
> Farbfrei beim Sauspiel ist, wenn ich n Karten einer Farbe
> halte.
>
> Zu den Parametern:
> Beim Schafkopf gibt es 32 Karten. Es gibt 4 Spieler.
> Jeder der Spieler erhält am Anfang 8 Karten.
> Es gibt 4 Farben (Eichel, Laub, Herz, Schell). Also
> besitzt jede Farbe grundsätzlich 8 Karten. Da die Frage
> aber speziell auf ein Sauspiel abzielt sei gesagt, dass
> aufgrund von Trümpfen die Farben Eichel, Laub und Schell
> nur 6 Karten besitzen. (Ober und Unter sind Trümpfe,
> werden deshalb nicht als "Farbe" gezählt)
> Bei einem Sauspiel rufe ich eine Farbe (z.B. Laub),
> derjenige Spieler mit dem Laub-Ass ist mein Mitspieler. Die
> beiden anderen unsere Gegner.
>
> Ich möchte euch jetzt exemplarisch meine Rechnung für n=3
> wiedergeben.
> Die Farbe nehme ich als Laub an.
> Ich bin mir dabei aber nicht sicher, ob meine Rechnung
> stimmt.
>
> Wenn ich 3 mal Laub habe, dann stehen meinen Gegnern noch 3
> mal Laub zur Verfügung.
>
> Habe ich 3 mal Laub, dann habe ich automatisch 5 mal
> nicht-Laub um meine 8 Karten zu komplementieren.
>
> Nun gibt es nach meiner Rechnung 6 Möglichkeiten, wie sich
> die Hände der Gegner darstellen können.
>
> 1.) Mitspieler 1*Laub, Gegner A 1*Laub, Gegner B 1*Laub
> 2.) Mitspieler 1*Laub, Gegner A 2*Laub, Gegner B 0*Laub
> 3.) Mitspieler 1*Laub, Gegner A 0*Laub, Gegner B 2*Laub
> 4.) Mitspieler 2*Laub, Gegner A 1*Laub, Gegner B 0*Laub
> 5.) Mitspieler 2*Laub, Gegner A 0*Laub, Gegner B 1*Laub
> 6.) Mitspieler 3*Laub, Gegner A 0*Laub, Gegner B 0*Laub
>
> Im Prinzip hilft mir Fall 1, die Fälle 2-5 sind schlecht,
> da einer der Gegner Farbfrei ist.
>
> für meine Wahrscheinlichkeit "Gegner 0*Laub" Laub gilt
> dann.
>
> [mm]p=\bruch{Kombinationen Fälle 2-5}{Kombinationen Fälle 1-6}[/mm]
>
> Für die Fälle stehen meiner Meinung nach nur noch 24
> Karten zur Verfügung, da ich meine eigenen 8 Karten
> kenne.
Ja, und was du kennst, ist sicher und die W. dafür ist 1.
>
> Für Fall 1 nehme ich folgendes an:
> Die Hand meines Mitspielers sieht wie folgt aus: L X X X X
> X X X (L = Laub, X=Unbekannt).
>
> Somit fehlen 7 Karten um seine Hand zu vervollständigen.
> Diese 7 Karten werden aus 21 gezogen. (24 Unbekannt, davon
> 3 Laub, welche bei den Gegner liegen müssen)
Wenn du 3 Laub hast und dein Partner 1 Laub, bleiben für die Gegner doch nur 2 Laub, nicht 3 übrig!
>
> Synchron zu dieser Logik folgt am Ende:
>
> p = [mm]\bruch{\red{2}*\vektor{21 \\ 7}\red{+2}*\vektor{21 \\ 6}\red{+}\vektor{21 \\ 5}}{3*\vektor{21 \\ 7}\red{+2}*\vektor{21 \\ 6}\red{+}\vektor{21 \\ 5}}[/mm]
>
> =75,659%
>
>
> Meine Frage an euch: Ist es richtig, wie ich das Ganze
> rechne?
> Ist es richtig, dass ich am Ende nur noch die
> Möglichkeiten ohne meine 8 Karten nehme oder muss ich
> durch [mm]\vektor{32 \\ 8}[/mm] teilen, was ja alle meine
> Anfangskombinationen wären.
-------------------------------------------------------------------------
Wir spielen das mal durch:
Stell dir vor, du hättest deine Karten alle zu Beginn bekommen und alle anderen noch keine. Du hast 3 L und 5 X. Daran ist nichts mehr zu rütteln, und du legst sie einfach weg.
Nun werden die restlichen 3 L und 21 X auf 3 Spieler verteilt. Jeder der 3 Spieler soll genau 1 L bekommen.
Da alle Kombinationen gleich wahrscheinlich sind, überlegen wir uns:
Wie viele Kombinationen sind "günstig"?
Hierzu machen wir nun ein "modifiziertes Zufallsexperiment":
Die 3 L liegen auf einem Stapel, die 21 X auf einem anderen. Der erste Spieler zieht 1 L und 7 X. Hierzu hat er [mm] \vektor{3 \\ 1}*\vektor{21 \\ 7} [/mm] Möglichkeiten.
Danach zieht der zweite ebenfalls 1 L und 7 X. Hierzu hat er nun nur noch [mm] \vektor{2 \\ 1}*\vektor{14 \\ 7} [/mm] Möglichkeiten. Der letzte hat "symbolisch" noch [mm] \vektor{1 \\ 1}*\vektor{7 \\ 7}=1*1=1 [/mm] Möglichkeit (klar, für ihn bleibt der Rest).
Somit gibt es insgesamt [mm] \vektor{3 \\ 1}*\vektor{21 \\ 7} *\vektor{2 \\ 1}*\vektor{14 \\ 7}* \vektor{1 \\ 1}*\vektor{7 \\ 7} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1}*\vektor{21 \\ 7} *\vektor{2 \\ 1}*\vektor{14 \\ 7} [/mm] günstige Möglichkeiten.
Diese dividieren wir durch die Anzahl aller möglichen Verteilungen auf die 3 Mitspieler, d.h., wir bilden nun nicht 2 Stapel mit L und X getrennt, sondern nur einen Stapel mit 24 Karten. Dann hat der erste Mitspieler [mm] \vektor{24 \\ 8} [/mm] Möglichkeiten, der nächste dann noch [mm] \vektor{16 \\ 8} [/mm] und der letzte [mm] \vektor{8 \\8 }=1 [/mm] (klar, wieder der Rest) Möglichkeiten. Es gibt somit insgesamt [mm] \vektor{24 \\ 8}*\vektor{16 \\ 8} [/mm] Möglichkeiten überhaupt.
Somit ist die W. für eine Verteilung nach Fall 1:
p = [mm] \bruch{\vektor{3 \\ 1}*\vektor{21 \\ 7} *\vektor{2 \\ 1}*\vektor{14 \\ 7}}{\vektor{24 \\ 8}*\vektor{16 \\ 8}} [/mm] = 0,252964426, also ca. 25 %.
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