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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 19:54 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hier die zweite Aufgabe:
Ein nXn Schachbrett soll mit L-förmigen Tetrissteinen bis auf die 4 Ecken belegt werden. Für welche n ist dies möglich?
Bsp. n=6
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Zeichung bitte nicht zu genau nehmen  )
Gruß Samuel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Sa 19.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Samuel
Besteht der Tetrisbaustein aus 4 Quadraten?
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Moudi
Ja, ein solcher Stein hat die Form
X X
XXX oder XXX
Besteht also immer aus 4 Quadraten. (Auch wenn das in der Zeichnung nicht so aussieht )
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Fr 25.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Zusammen
Es ist klar, dass es für ungerade n nicht geht, nur schon wegen der ungeraden Anzahl Felder im nxn-Brett (ohne die 4 Ecken).
Ich behaupte, dass es auch für n=0 Modulo 4 nicht geht. Denn um ein solche Brett zu belegen braucht man [mm] $\frac n4\,n-1$ [/mm] Tetrissteine. Das ist eine ungerade Zahl von Tetrissteinen.
Jetzt färben wir das Brett mit den zwei Farben weiss und schwarz. Und zwar abwechlunsweise eine ganze Reihe schwarz, dann eine ganze Reihe weiss etc. Wie mann den Tetrisstein auch auf das Brett legt, in jedem Fall belegt er entweder 3 schwarz und 1 weisses Feld oder 1 schwarzes und 3 weisse Felder. Mit einer ungeraden Anzahl Steine kann man nur eine ungerade Anzahl schwarze und eine ungerade Anzahl weisse Felder bedecken. Aber insgesamt enthält das Brett eine gerade Anzahl schwarze und weisse Felder.
Weiter behaupte ich, dass für n=2 Modulo 4 sich das Brett mit dem L-förmigen Tetrisstein bedecken lässt. Für n=6 hat Samuel die Lösung angegeben.
Sei jetzt daher [mm] $n\geq [/mm] 10$.
In jede Ecke setzt man 4 Steine wie im folgenden Beispiel in der linken unteren Ecke (für jede nächste Ecke jeweils um 90° gedreht).
[mm]
\setlength{\unitlength}{4mm}
\begin{picture}(20,20)
\put(0,0){\line(1,0){8}}
\put(0,1){\line(1,0){1}}
\put(2,1){\line(1,0){3}}
\put(3,2){\line(1,0){3}}
\put(1,3){\line(1,0){2}}
\put(0,4){\line(1,0){2}}
\put(0,0){\line(0,1){8}}
\put(1,0){\line(0,1){3}}
\put(2,1){\line(0,1){3}}
\put(3,0){\line(0,1){1}}
\put(3,2){\line(0,1){1}}
\put(5,1){\line(0,1){1}}
\put(6,0){\line(0,1){2}}
\end{picture}
[/mm]
Gibt es jetzt am Rande noch Zwischenräume, so kann man je zwei Tetrissteine zu einem 2x4-Rechteck zusammensetzen und in diese Zwischenräume einsetzen (siehe Bild).
[mm]
\setlength{\unitlength}{4mm}
\begin{picture}(20,20)
\put(0,0){\line(1,0){12}}
\put(0,1){\line(1,0){1}}
\put(2,1){\line(1,0){3}}
\put(3,2){\line(1,0){7}}
\put(1,3){\line(1,0){2}}
\put(0,4){\line(1,0){2}}
\put(7,1){\line(1,0){2}}
\put(0,5){\line(1,0){1}}
\put(1,7){\line(1,0){1}}
\put(0,8){\line(1,0){2}}
\put(0,0){\line(0,1){12}}
\put(1,0){\line(0,1){3}}
\put(2,1){\line(0,1){7}}
\put(3,0){\line(0,1){1}}
\put(3,2){\line(0,1){1}}
\put(5,1){\line(0,1){1}}
\put(6,0){\line(0,1){2}}
\put(7,1){\line(0,1){1}}
\put(9,0){\line(0,1){1}}
\put(10,0){\line(0,1){2}}
\put(1,5){\line(0,1){2}}
\end{picture}
[/mm]
Man kann sich leicht überzeugen, dass es wirklich aufgeht, in der Mitte bleibt ein "Loch" übrig, das genau einem (n-4)x(n-4)-Brett (ohne die 4 Ecken) entspricht.
mfG Moudi
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Hallo moudi,
Wunderbar! Ich habe es genau gleich gemacht.
Gruß Samuel
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