Familie der p-Normen auf R^n < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie für [mm] p\ge [/mm] 1 die Familie der p-Normen || [mm] \cdot ||_p [/mm] auf [mm] R^n, [/mm] ergänzt durch die Maximumsnorm || [mm] \cdot ||_\infty [/mm] für [mm] p=\infty. [/mm] Für [mm] p\in [1,\infty] [/mm] sei
[mm] B^p:=\{x\in R^n: ||x||_p <1\}
[/mm]
die jeweilige Einheitskugel.
a) Skizzieren Sie [mm] B^1, B^2, B^5, B^{\infty} [/mm] im [mm] R^2.
[/mm]
b) Finden Sie Konstanten [mm] 0
[mm] c_p ||x||_p \le ||x||_1 \le C_p ||x||_p.
[/mm]
Überlegen Sie, inwieweit diese Konstanten optimal sind.
[...]
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Hallo,
irgendwie ist mir nicht klar, wie die [mm] ||\cdot||_p [/mm] aussehen....Die Maximusnorm ist mir bekannt, aber wie z.B. [mm] ||x||_5 [/mm] aussieht, bzw. was diese Norm genau macht, ist mir nicht klar. Ist das jedes Mal eine Rechenoperation wie diese:
[mm] \wurzel[5]{x_1^5 + x_2^5 + ... + x_n^5}
[/mm]
Die Antwort zu a) habe ich bereits gegoogelt, aber mit ist nicht klar, wieso die jeweilgen Einheitskugeln so aussehen.
Vlt. kann ich ja dann die b) alleine lösen, mal schaun 
Danke schonmal für Antworten und Gruß
vom congo.
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Hallo congo.hoango,
> Betrachten Sie für [mm]p\ge[/mm] 1 die Familie der p-Normen ||
> [mm]\cdot ||_p[/mm] auf [mm]R^n,[/mm] ergänzt durch die Maximumsnorm ||
> [mm]\cdot ||_\infty[/mm] für [mm]p=\infty.[/mm] Für [mm]p\in [1,\infty][/mm] sei
>
> [mm]B^p:=\{x\in R^n: ||x||_p <1\}[/mm]
>
> die jeweilige Einheitskugel.
>
> a) Skizzieren Sie [mm]B^1, B^2, B^5, B^{\infty}[/mm] im [mm]R^2.[/mm]
> b) Finden Sie Konstanten [mm]0
> alle x [mm]\in R^n[/mm] gilt:
> [mm]c_p ||x||_p \le ||x||_1 \le C_p ||x||_p.[/mm]
>
> Überlegen Sie, inwieweit diese Konstanten optimal sind.
>
> [...]
>
> Hallo,
>
> irgendwie ist mir nicht klar, wie die [mm]||\cdot||_p[/mm]
> aussehen....Die Maximusnorm ist mir bekannt, aber wie z.B.
> [mm]||x||_5[/mm] aussieht, bzw. was diese Norm genau macht, ist mir
> nicht klar. Ist das jedes Mal eine Rechenoperation wie
> diese:
>
> [mm]\wurzel[5]{x_1^5 + x_2^5 + ... + x_n^5}[/mm]
Na, da fehlen die Betragstriche!
Es ist für [mm] $\vec{x}=(x_1,\ldots, x_n)\in\IR^n$ [/mm] doch [mm] $||\vec{x}||_5=\sqrt[5]{|x_1|^5+\ldots+|x_n|^5}$
[/mm]
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\vec{x}=(x,y)$ [/mm] dann [mm] $||\vec{x}||_5=\sqrt[5]{|x|^5+|y|^5}$
[/mm]
>
> Die Antwort zu a) habe ich bereits gegoogelt, aber mit ist
> nicht klar, wieso die jeweilgen Einheitskugeln so aussehen.
>
Nun, zum Glück sollst du das Ganze ja im [mm] $\IR^2$ [/mm] skizzieren, anders wäre auch schlecht wegen mangelnder Vorstellungskraft 
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist für [mm] $\vec{x}=(x,y)$ [/mm] dann etwa [mm] $||\vec{x}||_1=|x|+|y|$
[/mm]
Und entsprechend [mm] $B_1(0)$ [/mm] bzgl. [mm] $||.||_1$, [/mm] also der 1-Ball um 0 bzgl. der 1-Norm (ich schreibe das der Deutlichkeit wegen mal so, also etwas anders als du ...)
[mm] $B_1(0)=\{(x,y)\in\IR^2\mid |x|+|y|<1\}$
[/mm]
Um zu sehen, welches Gebilde das ist, löse erstmal $|x|+|y|=1$
Also $|y|=1-|x|$
Also [mm] $y=\begin{cases} 1-|x|, & \mbox{für } y\ge 0 \\ |x|-1, & \mbox{für } y<0 \end{cases}$
[/mm]
Noch die Beträge für $|x|$ beachten und du erhältst 4 Geradenstücke, die dir die Einheitskreisscheibe im [mm] $\IR^2$ [/mm] bzgl. der 1-Norm begrenzen. Das Innere des Gebildes ist dann [mm] $B_1(0)$ [/mm] bgl. [mm] $||.||_1$ [/mm] (geometrisch ist das natürlich kein Kreis, bzw. keine Kreisscheibe)
Entsprechend für etwa [mm] $||.||_{\infty}$ [/mm] im [mm] $\IR^2$
[/mm]
Schaue dir die Menge [mm] $\{\vec{x}=(x,y)\in\IR^2\mid ||\vec{x}||_{\infty}<1, \text{dh.} \max\{|x|,|y|\}<1\}$ [/mm] an ...
Bzgl. der 2-,5-Normen entsprechend ..., die 2-Norm (euklidiche Norm) ist ja hinreichend aus der Schule bekannt, der Einheitsball entspricht dem euklidischen Einheitskreis ...
> Vlt. kann ich ja dann die b) alleine lösen, mal schaun
>
>
> Danke schonmal für Antworten und Gruß
>
> vom congo.
Gruß
schachuzipus
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> [mm]B_1(0)=\{(x,y)\in\IR^2\mid |x|+|y|<1\}[/mm]
>
> Um zu sehen, welches Gebilde das ist, löse erstmal
> [mm]|x|+|y|=1[/mm]
Wieso denn auf einmal = 1 und nicht < 1?
Aber ansonsten ist mir vieles klarer dank Deiner Antwort!
Dann versuche ich mich mal an der b).
Danke und Gruß vom
congo.
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Hallo nochmal,
> > [mm]B_1(0)=\{(x,y)\in\IR^2\mid |x|+|y|<1\}[/mm]
> >
> > Um zu sehen, welches Gebilde das ist, löse erstmal
> > [mm]|x|+|y|=1[/mm]
>
> Wieso denn auf einmal = 1 und nicht < 1?
Das sollte nur vereinfachend sein, damit du die Geradenstücke, die diese Einheitskreisscheibe begrenzen, besser berechnen kannst.
Wenn du es lieber magst, kannst du direkt die Ungleichung [mm] $\ldots [/mm] <1$ betrachten ...
>
> Aber ansonsten ist mir vieles klarer dank Deiner Antwort!
> Dann versuche ich mich mal an der b).
Tu das!
>
> Danke und Gruß vom
>
> congo.
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schachuzipus
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