Faltungsintegral < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei x(t) = s(t), g(t) = s(t) * exp(-t)
Ges: y(t) = x(t) /* g(t) (Faltung)
Die Berechnung soll auch im Frequenzbereich mittels Fouriertransformation durchgeführt werden. |
Die Faltung im Zeitbereich macht mir zunächst erst mal keine schwierigkeiten. Als Ergebnis bekomme ich y(t) = s(t) * (1-exp(-t)) und das steht auch in der Lösung. Das Problem macht die Berechnung im Frequenzbereich:
Im Frequenzbereich geht ja die Faltung in eine Multiplikation über d. h.
Y(t) = X(t) * G(t) (Großbuchstabe = Fouriertransformierte)
s(t) transformiert ergibt: pi * delta(w) + 1/(jw)
s(t) * exp(-t) transformiert ergibt: 1 / (1+jw)
Jetzt multipliziere ich die die beiden Transformierten um auf Y(t) zu kommen, jedoch bekomme ich dann die Rücktransformation von Y(t) nach y(t) nicht hin.
Für die Hin und Rücktransformation werden Korrespondenztabellen verwendet.
Weiß jemand weiter?
vielen dank, christian
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Jo ist nen bisschen komisch:
[mm] $X(j\omega)=\bruch{1}{j\omega}+\pi*\delta(\omega)$
[/mm]
[mm] $G(j\omega)=\bruch{1}{1-j\omega}$
[/mm]
[mm] $$Y(j\omega)=X(j\omega)*$G(j\omega)$
[/mm]
[mm] $Y(j\omega)=\bruch{1}{j\omega*(1-j\omega)}+\pi*\delta(\omega)*\bruch{1}{1-j\omega}$
[/mm]
Aus Ausblendeigenschaft dirac :
[mm] $\delta(x-x_0)*f(x)=f(x_0)\delta(x-x_0)$
[/mm]
folgt:
[mm] $w_0=0$
[/mm]
[mm] $Y(j\omega)=\bruch{1}{j\omega*(1-j\omega)}+\pi*\delta(\omega)$
[/mm]
Partialburchzerlegung (geht vielleicht auch eleganter aber sehe ich gerade nicht)
[mm] $\bruch{1}{j\omega*(1-j\omega)}=\bruch{A}{j\omega}+\bruch{B}{1-j\omega}$
[/mm]
$A=B=1$
[mm] $\Rightarrow Y(j\omega)=\bruch{1}{j\omega}+\bruch{1}{1-j\omega}+\pi*\delta(\omega) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow y(t)=s(t)+e^{t}s(-t))$
[/mm]
naja irgedwo ist da noch was falsch aber vielleicht findest du das jetzt selbst raus hab leider kein Zeit mehr
mfg peanut
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