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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:43 Mi 17.06.2009 | | Autor: | daTidus |
| Aufgabe | Sei P die Gleichverteilung auf [-1,1]. Bestimmen Sie eine (Lambda)-Dichte der Faltung
[mm] P\*P\*P [/mm] |
Also ich habe mich ein bisschen an der Aufgabe versucht und auch schon eine Teillösung und wollte jetzt mal fragen, ob das so richtig ist, bevor ich weiterrechne.
Die Dichte der Gleichverteilung ist:
[mm] f(x)=1/2*\chi_{[-1,1]}(x)
[/mm]
Es ist ja [mm] (P\*P\*P)(x) [/mm] = [mm] ((P\*P)\*P)(x) [/mm] und [mm] (P\*P)(x) [/mm] habe ich bereits ausgerechnet, es gilt
[mm] (P\*P)(x)=(1/2+x/4)\chi_{[-2,0]}(x) [/mm] + [mm] (1/2-x/4)\chi_{[0,2]}(x) [/mm] , dabei ist [mm] \chi_{[a,b]}(x) [/mm] die jeweilige Indikatorfunktion.
Folglich gilt mit der Faltungsformel:
[mm] (P\*P\*P)(x)= 1/2\integral_{-\infty}^{\infty}{((1/2+(x-y)/4)\chi_{[-2,0]}(x-y) + (1/2-(x-y)/4)\chi_{[0,2]}(x-y))\chi_{[-1,1]}(y)}dy
[/mm]
[mm] =1/2\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/2+(x-y)/4)\chi_{[-2,0]}(x-y)\chi_{[-1,1]}(y)}dy+1/2\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/2-(x-y)/4)\chi_{[0,2]}(x-y)\chi_{[-1,1]}(y)}dy
[/mm]
Nun habe ich zunächst mit dem ersten Integral aus der Summe weitergearbeitet:
[mm] 1/2\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/2+(x-y)/4)\chi_{[-2,0]}(x-y)\chi_{[-1,1]}(y)}dy [/mm]
= [mm] 1/2\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/2+(x-y)/4)\chi_{[x,x+2]}(y)\chi_{[-1,1]}(y)}dy
[/mm]
Hier muss mit Fallunterscheidung weitergearbeitet werden:
Sei also -1 < x < 0
Dann ist
[mm] 1/2\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/2+(x-y)/4)\chi_{[x,x+2]}(y)\chi_{[-1,1]}(y)}dy
[/mm]
[mm] =1/2\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/2+(x-y)/4)\chi_{[x,1]}(y)}dy
[/mm]
[mm] =1/2\integral_{x}^{1}{(1/2+(x-y)/4)}dy
[/mm]
=...= 3/16 - x/8 - [mm] x^2/16
[/mm]
Soweit habe ich erstmal gerechnet, vor den weiteren Fallunterscheidungen würde allerdings gerne wissen, ob das bis jetzt in Ordnung ist.
Gruß daTidus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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