Faltung von Zufallsgrößen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Fr 15.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
| Aufgabe | Gesucht ist die Dichte bzw. Verteilungsfunktion aus der Summe einer dreiecksverteilten und einer gleichverteilten Zufallsgröße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt |
Hallo alle zusammen, ich stecke leider schon seit geraumer Zeit an einer Aufgabe fest, bei der die Dichte einer Zufallsgröße zu bestimmen ist, die aus einer gleichverteilten und einer dreiecksverteilten ZG zusammengesetzt ist.
Mein Problem sind die Fallunterscheidungen die zu machen sind.
Seien [mm]X,Y[/mm] ZG für die gelte: [mm]X,Y \sim Gl_{[0,1]}[/mm]
dann hat die ZG [mm]U=X+Y[/mm] die Dichte: [mm]f_U(u)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } u<0 \mbox{ und } u>2 \\ u, & \mbox{für } 0\le u \le1 \\2-u, & \mbox{für } 1\le u \le2 \end{cases}[/mm]
Sei jetzt [mm] W=U+V [/mm] , wobei [mm]V \sim Gl_{[0,1]}[/mm], gesucht ist die Dichte von [mm]f_W(w)[/mm] von [mm]W[/mm]. Klar das hier wieder eine Faltung durchzuführen ist.
Mein Ansatz: [mm]0\le v \le1[/mm] und ([mm] 0\le u \le1[/mm] oder [mm]1\le u \le2 [/mm]) und [mm]0\le w \le3 [/mm]
1.Fall: [mm] 0\le v \le1[/mm] und [mm] 0\le u \le1 \gdw 0\le w-v \le1 \gdw w-1\le v \le w[/mm]
d.h. heißt doch aber man muß für die Integrationsgrenzen die Schnitte [mm]\left[ 0,1 \right]\cap\left[ w-1,w \right][/mm] betrachten und diese ergeben für:
1) [mm]w <0:\emptyset[/mm]
2) [mm]w \in \left[ 0,1 \right]:\left[ 0,w \right][/mm]
3) [mm]w \in \left[ 1,2 \right]:\left[ w-1,1 \right][/mm]
4) [mm]w >2:\emptyset[/mm]
damit müßten dann folgende Integrale gelöst werden:
1) und 4) ist klar
2) [mm] \integral_{0}^{w}{(w-v) dv}
[/mm]
3) [mm] \integral_{w-1}^{1}{(w-v) dv}
[/mm]
Die Integrale sind simpel, ich spar mir die Lösung an dieser Stelle aufzuschreiben.
Nun zum 2.Fall: [mm] 0\le v \le1[/mm] und [mm] 1\le u \le2 \gdw 1\le w-v \le2 \gdw w-2\le v \le w-1[/mm]
d.h. heißt doch aber man hat die Schnitte [mm]\left[ 0,1 \right]\cap\left[ w-2,w-1 \right][/mm] zu betrachten und diese ergeben für:
1) [mm]w <1:\emptyset[/mm]
2) [mm]w \in \left[ 1,2 \right]:\left[ 0,w-1 \right][/mm]
3) [mm]w \in \left[ 2,3 \right]:\left[ w-2,1 \right][/mm]
4) [mm]w >3:\emptyset[/mm]
1) und 4) ist wieder klar
[mm] 2)\integral_{0}^{w-1}{(2-w+v) dv}
[/mm]
[mm] 3)\integral_{w-2}^{1}{(2-w+v) dv}
[/mm]
Nun habe ich folgendes Problem:
Betrachtet man 2) im 1.Fall und 1) im 2.Fall so ist klar, daß dort nur "eine" Funktion existieren darf (tut es in diesem Fall aber auch).
Betrachtet man aber 3) im 1.Fall und 2) im 2.Fall so sollten doch die "Stammfkt." beider Integrale gleich sein, sind sie aber nicht! D.h. ich habe hier irgendwo ein Fehler beim Aufstellen der Integrale und damit in den Fallunterscheidungen gemacht.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!
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> Gesucht ist die Dichte bzw. Verteilungsfunktion aus der
> Summe einer dreiecksverteilten und einer gleichverteilten
> Zufallsgröße.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Hallo alle zusammen, ich stecke leider schon seit geraumer
> Zeit an einer Aufgabe fest, bei der die Dichte einer
> Zufallsgröße zu bestimmen ist, die aus einer
> gleichverteilten und einer dreiecksverteilten ZG
> zusammengesetzt ist.
> Mein Problem sind die Fallunterscheidungen die zu machen
> sind.
>
> Seien [mm]X,Y[/mm] ZG für die gelte: [mm]X,Y \sim Gl_{[0,1]}[/mm]
>
> dann hat die ZG [mm]U=X+Y[/mm] die Dichte: [mm]f_U(u)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } u<0 \mbox{ und } u>2 \\ u, & \mbox{für } 0\le u \le1 \\2-u, & \mbox{für } 1\le u \le2 \end{cases}[/mm]
>
> Sei jetzt [mm]W=U+V[/mm] , wobei [mm]V \sim Gl_{[0,1]}[/mm], gesucht ist die
> Dichte von [mm]f_W(w)[/mm] von [mm]W[/mm]. Klar das hier wieder eine Faltung
> durchzuführen ist.
>
> Mein Ansatz: [mm]0\le v \le1[/mm] und ([mm] 0\le u \le1[/mm] oder [mm]1\le u \le2 [/mm])
> und [mm]0\le w \le3 [/mm]
>
> 1.Fall: [mm]0\le v \le1[/mm] und [mm]0\le u \le1 \gdw 0\le w-v \le1 \gdw w-1\le v \le w[/mm]
>
> d.h. heißt doch aber man muß für die Integrationsgrenzen
> die Schnitte [mm]\left[ 0,1 \right]\cap\left[ w-1,w \right][/mm]
> betrachten und diese ergeben für:
>
> 1) [mm]w <0:\emptyset[/mm]
> 2) [mm]w \in \left[ 0,1 \right]:\left[ 0,w \right][/mm]
>
> 3) [mm]w \in \left[ 1,2 \right]:\left[ w-1,1 \right][/mm]
> 4) [mm]w >2:\emptyset[/mm]
>
> damit müßten dann folgende Integrale gelöst werden:
>
> 1) und 4) ist klar
>
> 2) [mm]\integral_{0}^{w}{(w-v) dv}[/mm]
>
> 3) [mm]\integral_{w-1}^{1}{(w-v) dv}[/mm]
>
> Die Integrale sind simpel, ich spar mir die Lösung an
> dieser Stelle aufzuschreiben.
>
> Nun zum 2.Fall: [mm]0\le v \le1[/mm] und [mm]1\le u \le2 \gdw 1\le w-v \le2 \gdw w-2\le v \le w-1[/mm]
>
> d.h. heißt doch aber man hat die Schnitte [mm]\left[ 0,1 \right]\cap\left[ w-2,w-1 \right][/mm]
> zu betrachten und diese ergeben für:
>
> 1) [mm]w <1:\emptyset[/mm]
> 2) [mm]w \in \left[ 1,2 \right]:\left[ 0,w-1 \right][/mm]
>
> 3) [mm]w \in \left[ 2,3 \right]:\left[ w-2,1 \right][/mm]
> 4) [mm]w >3:\emptyset[/mm]
>
> 1) und 4) ist wieder klar
>
> [mm]2)\integral_{0}^{w-1}{(2-w+v) dv}[/mm]
>
> [mm]3)\integral_{w-2}^{1}{(2-w+v) dv}[/mm]
>
> Nun habe ich folgendes Problem:
>
> Betrachtet man 2) im 1.Fall und 1) im 2.Fall so ist klar,
> daß dort nur "eine" Funktion existieren darf (tut es in
> diesem Fall aber auch).
> Betrachtet man aber 3) im 1.Fall und 2) im 2.Fall so
> sollten doch die Stammfkt. beider Integrale gleich sein,
> sind sie aber nicht! D.h. ich habe hier irgendwo ein Fehler
> beim Aufstellen der Integrale und damit in den
> Fallunterscheidungen gemacht.
Nur eine kurze Bemerkung (ohne dass ich Deine Überlegung im Detail nachvollzogen hätte): Du bist Dir hoffentlich im Klaren darüber, dass man nicht von "der" Stammfunktion eines Integrals sprechen kann: denn Stammfunktionen sind nur bis auf eine additive Konstante ("Integrationskonstante") bestimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Fr 15.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Damit ist mein Problem nicht behoben aber um der mathematischen Exaktheit zu Liebe hast Du natürlich recht. Eine Stammfkt. ist Lösung eines unbestimmten Integrals zuzüglich Integrationskonstante.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> Damit ist mein Problem nicht behoben aber um der
> mathematischen Exaktheit zu Liebe hast Du natürlich recht.
> Eine Stammfkt. ist Lösung eines unbestimmten Integrals
> zuzüglich Integrationskonstante.
Es ging mir nicht um mathematische Exaktheit sondern nur darum sicherzustellen, dass hier nicht bloss ein kleines Versehen vorliegt: dass sich also die von Dir eben leider nicht explizit angegebenen Stammfunktionen vielleicht nur um eine Konstante unterscheiden.
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Die erste Faltung hast du ja schon gut hinbekommen. Jetzt müssen wir eine zweite machen. Setzen wir [mm]f(t)=1[/mm] für [mm]t\in \left [0, 1\right][/mm] und g als die sich aus der ersten Faltung ergebene Dichte. Dann ist
[mm](f\* g)(t) = \int_0^1 f(\tau) g(t-\tau) d\tau + \int_1^2 f(\tau) g(t-\tau) d\tau[/mm]
[mm]= \int_0^1 1 * g(t-\tau) d\tau + \int_1^2 0 * g(t-\tau) d\tau[/mm]
[mm]= \int_0^1 g(t-\tau) d\tau [/mm]
Hier lebt die Funktion g auf [mm]\left [0, 2\right][/mm] (d.h. sie nimmt dort Werte [mm] \ge0 [/mm] an) und t kann von 0 bis 3 laufen.
Jetzt machen wir eine Substitution: [mm]z=t - \tau[/mm]. Damit folgt [mm]dz = -d\tau[/mm]. Für die Integrationsgrenzen gilt: [mm]\tau=0 \Rightarrow z=t - \tau = t[/mm] und [mm]\tau=1 \Rightarrow z=t - \tau = t - 1[/mm]. Das Minus aus der Substitution nehmen wir, um die Intergrationsrichtung zu vertauschen und erhalten
[mm]= \int_{t-1}^t g(z) dz [/mm]
Wenn du jetzt noch die Fallunterscheidung für g beachtest, sollte deine Frage beantwortet sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 18.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Hallo nochmal und zurück zu der Aufgabe. Ich habe sie jetzt folgendermaßen gelöst, wobei mich die Fallunterscheidungen Deiner Variante interessieren würden.
[mm]w=u+v\Rightarrow v=w-u[/mm]
1.Fall: [mm]0\le u\le1[/mm] und [mm]0\le v\le1\Rightarrow w-1\le u\le w[/mm]
1.1) [mm]w\in [0,1] \Rightarrow [0,1]\cap [w-1,w]=[0,w][/mm]
1.2) [mm]w\in [1,2] \Rightarrow [0,1]\cap [w-1,w]=[w-1,1][/mm]
2.Fall: [mm]1\le u\le2[/mm] und [mm]0\le v\le1\Rightarrow w-1\le u\le w[/mm]
2.1) [mm]w\in [1,2] \Rightarrow [1,2]\cap [w-1,w]=[1,w][/mm]
2.2) [mm]w\in [2,3] \Rightarrow [1,2]\cap [w-1,w]=[w-1,2][/mm]
damit folgt:
1.1) [mm]\integral_{0}^{w}{u du}=0.5w^{2}[/mm]
1.2)+2.1) [mm]\integral_{w-1}^{1}{u du}+\integral_{1}^{w}{(2-u) du}=-w^{2}+3w-1.5[/mm]
2.2) [mm]\integral_{w-1}^{2}{(2-u) du}=0.5w^{2}-3w+4.5[/mm]
Vielleicht kann mir nochmal jemand kurz erklären warum 1.2) und 2.1) addiert werden müssen, hab mir das nur anhand der Ausgangsdichten graphisch klar gemacht.
Ausserdem noch folgende Frage: Die Faltung ist ja kommutativ, d.h. man könnte auch [mm]u=w-v[/mm] setzen aber irgendwie komm ich da auf andere Lösungen, was ja nicht sein kann oder? Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Di 19.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Vielleicht kann mir nochmal jemand kurz erklären warum 1.2)
> und 2.1) addiert werden müssen, hab mir das nur anhand der
Du brauchst die Fläche der Dichte der Dreiecksverteilung im Intervall [w-1,w].
Du hast die Dichte aufgeteilt in die Dichte im Intervall [0,1] und im Intervall [1,2], weil dann die Berechnung einfacher ist. Aber damit ist die gesuchte Fläche immer die Fläche im Intervall [mm] $[0,1]\cap [/mm] [w-1,w]$ plus die im Intervall [mm] $[1,2]\cap [/mm] [w-1,w]$, nur daß in den Fällen 1.1 und 2.2 jeweils eine der Schnittmengen leer ist.
> Ausserdem noch folgende Frage: Die Faltung ist ja
> kommutativ, d.h. man könnte auch [mm]u=w-v[/mm] setzen aber
> irgendwie komm ich da auf andere Lösungen, was ja nicht
> sein kann oder? Danke.
Nein. Aber ohne genauere Angaben kann ich Dir nicht helfen.
Btw. nicht ganz korrekt, aber bei *Faltung* immer zielführend: Wir tun so, als hätten wir keine Dichten sondern Wkeiten:
Wir wollen P(U+V=k):
[mm] $P(U+V=k)=P(U=k-V)=\sum_v P(U=k-V|V=v)P(V=v)=\sum_v [/mm] P(U=k-v)P(V=v)$
Jetzt ersetzen wir die Ps durch fs und die Summen durch Integrale:
[mm] $f_{U+V}(k)=\int_0^1 f_U(k-v)f_V(v)\ [/mm] dv= [mm] \int_0^1 f_U(k-v)\ [/mm] dv =$
[mm] $=\begin{cases} \int_0^k v\ dv,&\text{für } k<1\\ \dots\end{cases}$
[/mm]
( Wo Du dann unbedingt aufpassen mußt, ist wenn Faktoren oder kompliziertere Funktionen ins Spiel kommen: a>0
$P(aU=k) = P(U=k/a)$
[mm] $\Rightarrow f_{aU}(k)=f_U(k/a)$ [/mm] bzzzzzzzzzzzzzzzzzzt.
hier kommt man nur sauber zum Ziel:
[mm] $P(aU\leq k)=P(U\leq [/mm] k/a)$
[mm] $\Rightarrow f_{aU}(k)=\frac{d}{dk} F_{aU}(k)=\frac{d}{dk} P(aU\leqk)= \frac{d}{dk} P(U\leq k/a)=\frac{d}{dk} F_U(k/a) [/mm] = [mm] \frac{1}{a}f_U(k/a)$
[/mm]
Ungefährlicher wird's, wenn Du Dir die Formeln für bedingte Dichten anschaust. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 19.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Bedingte Dichten bzw. Verteilungsfunktionen sind bei uns bissl zu kurz gekommen. Bis auf Standardbeweise in der Maßtheorie kam nichts weiter dran. Kannst Du ein Buch/Skript diesbezüglich empfehlen? Vielleicht mit Transformationen und Anwendungsbeispielen etc.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Do 21.08.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
meine Standardantwort lautet:
@BOOK{Mood74,
title = {Introduction to the Theory of Statistics},
publisher = {Mc-Graw-Hill},
year = {1974},
author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
edition = {3.}
}
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 21.08.2008 | | Autor: | Blech |
Die paar wichtigsten Formeln finden sich auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Di 19.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Noch eine Frage:
Weiß jemand wie man an die Dichte folgender Transformation kommt?
Seien [mm]X,Y \sim Gl[0,1][/mm] Zufallsgrößen und sei [mm]Z=nX-\left[ nX-Y \right][/mm] wobei [mm]\left[ x \right][/mm] den unteren ganzen Anteil von [mm]x[/mm] bezeichnet und [mm]n\in\IN[/mm] ist. Gesucht ist die Dichte von [mm] Z [/mm].
Also die Dichte von [mm]nX[/mm] ist einfach zu ermitteln (ist ja nur eine Skalierung auf das Intervall [mm][0,n][/mm] aber dann das untere Ganze davon abziehen und die Dichte ermitteln stellt mich erstmal vor einige Rätsel.
Vielleicht hat jemand eine Idee wie man da rangeht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Di 19.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Vielleicht hat jemand eine Idee wie man da rangeht?
1. nX-[nX] ist gleichverteilt auf [0,1] (hoff ich)
2. [nX-Y] ist entweder gleich [nX] oder gleich [nX]-1
3. Was von beiden eintritt, hängt davon ab, ob Y> oder [mm] $\leq [/mm] nX-[nX] =: W$
4. W und Y sind beide glvtlt auf [0,1] und unabhängig.
hilft das als Anstoß? =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:54 So 24.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Vielen Dank für die zahlreichen Anregungen und Hilfestellungen.
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