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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Do 31.05.2007 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Seien f, g [mm] \vareepsilon C^{1} 2\pi-periodisch [/mm] auf [mm] \IR [/mm] und seien die Fourierkoeffizienten con f und g
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-inx}f(x) dx}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-inx}g(x) dx}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe
[mm] \summe_{i\vareepsilon\IZ}^{}a_{j-n}b_{n} [/mm] = [mm] c_{j} [/mm]
konvergiert und dass [mm] c_{j} [/mm] die fourierkoeffizienten von fg sind. |
Hallo!
Ich dachte mir, ich setze einfach mal in die Reihe ein:
[mm] \summe_{i\vareepsilon\IZ}^{}a_{j-n}b_{n} [/mm] = [mm] c_{j} =\summe{i\vareepsilon\IZ}{}(\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-i(j-n)x}f(x) dx}\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-inx}g(x) dx})
[/mm]
Aber wie mache ich denn dann weiter? Es handelt sich doch hier um die herleitung für ein Faltungsintegral, oder stimmt das nicht?
Für [mm] c_{j} [/mm] muss ich doch folgendes bekommen:
[mm] c_{j}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-inx}f(x)g(x) dx}
[/mm]
Wer kann mir weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Do 31.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du fg, als Produkt der Fourier-Reihen schreibst, kannst du die Formel zur Multiplikation von Reihen verwenden.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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