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Hallo!
Meine Aufgaben:
1. In welchem Sinne gilt [mm] (a^{b})^{c}=a^{bc}?
[/mm]
2. Welche Fehler stecken in folgendem Beweis:
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt
[mm] e^{ix}= e^{2 (\pi)ix/2 \pi}=(e^{2 (\pi)i})^{x/2 \pi}=1^{x/2 \pi}=1.
[/mm]
1. Mit der Definition von Potenzen hätte ich jetzt folgendes gemacht, aber ich denke mal, dass das reell ist und nicht komplex. Irgendwie hab ich nämlich in Erinnerung, dass diese Regel im Komplexen eben nicht gilt, oder?
[mm] (a^{b})^{c}=\exp(clog(a^{b}))=\exp(cbloga)=a^{bc}
[/mm]
Bei 2. gehe ich mal davon aus dass der 2.Schritt falsch ist, oder? (Wenn ich davon ausgehe, dass 1. so nicht gilt). Aber weil da steht "welche Fehler" müsste es ja noch einen 2.Fehler geben!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Do 09.06.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Melanie!
Für $a [mm] \in \IC \setminus\{0\}$ [/mm] und $b [mm] \in \IC$ [/mm] definiert man
[mm] $a^b= [/mm] exp(b [mm] \log [/mm] a)$.
Für diese Definition muss man allerdings einen Zweig des Logarithmus fest wählen!!!!
Verschiedene Zweige des Logarithmus führen i.A. zu verschiedenen Werten von [mm] $a^b$.
[/mm]
Daher ist [mm] $a^b$ [/mm] ohne Festlegung eines Logarithmuszweiges nicht definiert! Erst wenn man einen Zweig fest wählt, kann man [mm] $a^b$ [/mm] definieren.
Und: Daher gelten im Komplexen die Logarithmen- und Potenzregeln im Allgemeinen nicht.
> 1. In welchem Sinne gilt [mm](a^{b})^{c}=a^{bc}?[/mm]
Dies bedeutet folgendes:
Es gibt zwei Zweige [mm] $\log_1$ [/mm] und [mm] $\log_2$ [/mm] des Logarithmus, so dass
[mm](a^{b})^{c}=\exp(c \log_1(a^{b}))=\exp(cb \log_2(a))=a^{bc}[/mm]
gilt. Diese Gleichheit muss aber nicht für alle Zweige des Logarithmus gelten!
> 2. Welche Fehler stecken in folgendem Beweis:
> Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt
> [mm]e^{ix}= e^{2 (\pi)ix/2 \pi}=(e^{2 (\pi)i})^{x/2 \pi}=1^{x/2 \pi}=1.[/mm]
Hier wurde Regel $1$ falsch angewendet. Es wurde einfach auf beiden Seiten der Hauptzweig des Logarithmus gewählt. Stattdessen weiß man nur:
[mm] $e^{ix} [/mm] = [mm] e^{\frac{x}{2\pi} \cdot \log\left(e^{2\pi i} \right)}$
[/mm]
für irgendeinen Zweig [mm] $\log$ [/mm] des Logarithmus. Da kann ich jetzt nicht einfach den Hauptzweig wählen und [mm] $\log(e^{2\pi i}) [/mm] = [mm] \log(1)=0$ [/mm] schreiben. Nein, in diesem Fall ist es der erste Nebenzweig, auf den die Gleichung zutrifft, und ich müsste schreiben: [mm] $\log(e^{2\pi i}) [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i$. Dann stimmt die gleichung wieder (man hat aber dann nichts gewonnen, weil man so nur die triviale Ausgangsgleichung [mm] $e^{ix} [/mm] = [mm] e^{ix}$ [/mm] zurückgewinnt.
Also: Hüte dich im Komplexen vor dem Logarithmus und seinen Gesetzen! Auch Potenzen sind zu vermeiden! 
Nein, im Ernst: Man muss nur darauf achten, dass die gewohnten Rechengesetze nicht gelten, weil man ab und zu über einen Schlitz der Ebene springt und es keinen stetigen Logarithmus auf ganz [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] gibt.
Liebe Grüße
Julius
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