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Hi Leute
Ich habe da eine Frage und zwar, wie geht man grundsätzlich vor, wenn es sich um eine Fallunterschiedung für alle Parameterwerte bei einer Gleichung handelt. Beispiel:
Als Aufgabe habe ich die folgende gelöst:
[mm] \bruch{u-8}{x-u} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
Nun ok, Lösung: u= 7 => L={}
u = 8 => L={}
(u <> 7 und u <> 8)=> [mm] {\bruch{u}{u-7}}
[/mm]
Naja wenn ich das Ganze nach x auflösen würde bekomme ich ja den Bruch
[mm] \bruch{u}{u-7} [/mm] da sehe ich dass u <> 7 eine leere Menge gibt ,aber auf die 8...wäre ich jetzt nur mit Probieren gekommen...gibt es denn da keine Regel wie man das irgendwie herausfinden kann?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe...
Grüsse Nicole
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Mach dir mal erstmal über die Fallunterscheidung keine Gedanken.
Die Bruchgleichung kannst du ja sicherlich wie folgt umformen: [mm] x(u-8)=-(x-u)\gdw xu-8x=-x+u\gdw [/mm] xu-7x=u [mm] \gdw x(u-7)=u\gdw x=\bruch{u}{u-7}
[/mm]
Nun kannst du dir Gedanken über u und x machen.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:28 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
das ist etwas salopp. Wenn man sich schon um $u$ keine Gedanken macht, dann sollte man sich aber bei den Äquivalenzumformungen Gedanken um die tatsächliche Äquivalenz der Terme machen. Das $x$ spielt hier nämlich auch eine Rolle!
Ich würde mir am Anfang auch keine zu großen Gedanken machen, aber jeden Schritt sorgfältig ausführen.
[mm] $\bruch{u-8}{x-u} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}$
[/mm]
Hier stellen wir bereits fest, dass gelten muss: [mm] $x\not={}0$ [/mm] und [mm] $x\not={}u$. [/mm] Letztere Bedingung müssen wir uns auch für später merken.
Unter diesen Bedingungen dürfen wir dann umformen zu:
[mm] $x*\bruch{u-8}{x-u} [/mm] = -1$
und weiter zu:
$x(u-8) = u-x$
Nun nach $x$ auflösen:
$x = [mm] \bruch{u}{u-7}$, [/mm] hier muss [mm] $u\not={}7 [/mm] gelten!$
Nun wollen wir mal schauen, was es mit [mm] $u\not={}x$ [/mm] auf sich hatte. Wir setzen das mal in unsere Lösung ein:
$u [mm] \not= \bruch{u}{u-7}$
[/mm]
und erhalten:
$u [mm] \not= [/mm] 8$ UND $u [mm] \not= [/mm] 0$
Das mit der Null wussten wir noch gar nicht!
Also gilt insgesamt:
Für [mm] $u\in\IR\backslash\{0, 7, 8\}$ [/mm] ist $x = [mm] \bruch{u}{u-7}$
[/mm]
Gruß
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mo 24.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole,
> [mm]\bruch{u}{u-7}[/mm] da sehe ich dass u <> 7 eine leere Menge
> gibt ,aber auf die 8...wäre ich jetzt nur mit Probieren
> gekommen...gibt es denn da keine Regel wie man das
> irgendwie herausfinden kann?
Es liegt daran, dass du im Verlauf der Rechnung durch [mm](u-8)[/mm] dividieren musst, was für u=8 nicht erlaubt ist. Deswegen musst du an dieser Stelle der Rechnung eine Fallunterscheidung machen:
1. [mm]u\not=8[/mm] und dividieren
2. [mm]u=8[/mm], dies einsetzen und weiterrechnen.
In der vorliegenden Aufgabe führt der zweite Fall nicht zu einer Lösung; das kann aber auch anders sein.
Manchmal kannst du das der Ausgangsgleichung ansehen, oft ergibt es sich erst im Verlauf der Rechnung.
In deiner Gleichung
[mm]\bruch{u-8}{x-u} = -\bruch{1}{x}[/mm]
kann die rechte Seite nicht 0 werden. Für [mm]u=8[/mm] wäre aber die linke Seite 0, deswegen kann es für [mm]u=8[/mm] keine Lösung geben.
Viele Grüße
Rainer
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Hi Leute
Ich füge die Aufgabe gleich ans Thema an.
Folgende Aufgabe haben wir in der Schule gelöst und sind dann nicht mehr weitergekommen, also:
x(x-2) = k(2x-k) Aufgabe: Lösen Sie die Gleichung mit Fallunterscheidung für alle Parameterwerte k E R.
ok, wir sind so vorgegangen:
[mm] x^2-2x [/mm] = [mm] 2xk-k^2
[/mm]
[mm] x^2-2x-2xk-k^2
[/mm]
[mm] x^2+x(-2-2k)-k^2
[/mm]
D = [mm] (-2-2k)^2 [/mm] + [mm] 4k^2 [/mm] = 0
[mm] 4+8k+4k^2+4k^2
[/mm]
= [mm] 8k^2+8k [/mm] + 4 = 0
D=64-128
Was ja negativ ist, somit nicht mehr geht.
Lösung: k>-1/2 = x1,2 = k+1 +/- Wurzel (2k+1)
k = -1/2 => x = 1/2
k<-1/2 => {}
Also ich weiss dass die Diskriminante nicht stimmt. Aber wieso denn das?:S
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole!
Du machst gleich zu Beginn beim Umstellen einen Vorzeichenfehler:
[mm] $$x^2-2x [/mm] \ = \ [mm] 2xk-k^2$$
[/mm]
[mm] $$x^2-2x [/mm] - 2xk \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] k^2 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$x^2-2*(1+k)*x+ [/mm] \ [mm] k^2 [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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Emm...aber für b haben wir in der Schule dann
-2-2k verwendet...stimmt das?
Vorzeichenfehler....stimmt...da ist wohl dort schon was schief gegangen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mana ups ... Nicole !
> Emm...aber für b haben wir in der Schule dann
> -2-2k verwendet...stimmt das?
Das ist dasselbe wie in meiner Darstellung. Ich habe halt noch etwas mehr ausgeklammert ...
Gruß
Loddar
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Ja, aber mit diesem b kommen wir nicht weiter:D
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Tipp: Es ist doch eine quadratische Gl. Setze doch mal die p-q-Formel an. Und schau mal was passiert. (aufpassen was unter der Wurzel steht.)
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p q Formel? Höhensatz oder was?:D
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[mm] x^2\overbrace{-2\cdot{}(1+k)}^{p}x+ \overbrace{k^2}^{q} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow x_{1,2}=(1+k)\pm\wurzel{(1+k)^2-k^2}=(1+k)\pm\wurzel{2k+1}
[/mm]
Wann gibts denn jetzt ein Problem? (für welche k)
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Du verwendest für b (k+1) wir jedoch nehmen die 2 auch noch, also -2-2k...diese werden als b angesehen. Wieso nimmst du die 2 nicht? Und wieso lässt du bei der Diskriminanten
D = [mm] \wurzel{b^2-4ac}
[/mm]
die 4 weg?
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Hallo, wo "zauberst" du denn a, b, und c her, hast du denn Ansatz der Lösungsformel von pleaselook verstanden? Ich habe die Vermutung, dort liegen deine Probleme, teile sie uns bitte mit! Dann greife den Hinweis von pleaselook auf, du kannst aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen, z. B. [mm] \wurzel{-4}, [/mm] also gilt [mm] 2k+1\ge0.
[/mm]
Steffi
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[mm] b^2-4ac [/mm] beschreibt nach unserer Formel die Diskriminante...
Für b benutzen wir halt -2-2k
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Hallo, ich denke du verwechselst zwei Dingen:
1. die Mitternachtsformel, die benutzt du, ist der Faktor vor [mm] x^{2}\not=1
[/mm]
[mm] ax^{2}+bx+c=0 [/mm]
[mm] x_1_2=\bruch{-b\pm\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}
[/mm]
2. die p-q-Formel, die benutz du, ist der Faktor vor [mm] x^{2}=1
[/mm]
[mm] x^{2}+px+q=0 [/mm]
[mm] x_1_2=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}
[/mm]
jetzt ist in deinem Fall a=1, setzt das mal ein, du erhälst die Lösung von vorhin,
Steffi
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