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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Fallunterscheidung Eigenwerte
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Fallunterscheidung Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mo 22.05.2017
Autor: epiphanias

Aufgabe
A= \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 0 & \frac{-r}{j}\\ \end{pmatrix} ~~ B= \begin{pmatrix} 0\\ \frac{k}{j}\\ \end{pmatrix} ~~k,j,r>0

Es geht darum alle Matrizen F zu finden, sodass gilt:
\Lambda(A-BF)\subseteq \mathbb{C}^{-}= \{z \in \mathbb{C}^{-}:R(z) < 0 \}.


Hallo ihr Lieben,

ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Ich habe erst einmal die Matrix A-BF aufgestellt mit F=[a~~b]:
A-BF= \begin{pmatrix} 0& 1 \\ \frac{-ka}{j} & \frac{-r-kb}{j}\\ \end{pmatrix}

Das Charakteristische Polynom zur Berechnung der Eigenwerte müsste dann wie folgt aussehen:
\phi(A-BF)= \lambda^{2}+\frac{r-kb}{j}\lambda+\frac{ka}{j}

An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Wie sehen die Fallunterscheidungen aus, die ich hier treffen muss, um die negativen Eigenwerte und somit F zu bestimmen?

Danke vorab für eure Hilfe!!

        
Bezug
Fallunterscheidung Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Di 23.05.2017
Autor: donquijote


> A= \begin{pmatrix} > 0& 1 \\ > 0 & \frac{-r}{j}\\ > \end{pmatrix} ~~ > B= \begin{pmatrix} > 0\\ > \frac{k}{j}\\ > \end{pmatrix} ~~k,j,r>0 >
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> Es geht darum alle Matrizen F zu finden, sodass gilt:
>  \Lambda(A-BF)\subseteq \mathbb{C}^{-}= \{z \in \mathbb{C}^{-}:R(z) < 0 \}.
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> Hallo ihr Lieben,
>  
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter und würde mich
> sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
>  
> Ich habe erst einmal die Matrix A-BF aufgestellt mit
> F=[a~~b]:
>  A-BF= \begin{pmatrix} > 0& 1 \\ > \frac{-ka}{j} & \frac{-r-kb}{j}\\ > \end{pmatrix}

Hallo,
eine Matrix der Form  \begin{pmatrix} 0& 1 \\ c& d\\ \end{pmatrix} mit reellen Koeefizienten hat genau dann nur Eigenwerte mit negativem Realteil, wenn d<0 und c<0. Das liegt daran, dass d die Spur und damit die Summe der Eigenwerte und -c gleich der Determinante, also dem Produkt der Eigenwerte ist.

>  
> Das Charakteristische Polynom zur Berechnung der Eigenwerte
> müsste dann wie folgt aussehen:
>  \phi(A-BF)= \lambda^{2}+\frac{r-kb}{j}\lambda+\frac{ka}{j}
>  
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Wie sehen die
> Fallunterscheidungen aus, die ich hier treffen muss, um die
> negativen Eigenwerte und somit F zu bestimmen?
>  
> Danke vorab für eure Hilfe!!
>  

Bezug
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