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Hallo liebes Forum,
Ich muß im Rahmen eines Beweises eine Teilaussage mittels Induktion beweisen, was mir aber nicht gelingt.
Die Aussage lautet:
[mm] $\forall i,j,n\in\IN [/mm] : [mm] i\neq [/mm] j [mm] \Rightarrow [/mm] n! [mm] \neq [/mm] j! + i! [mm] \cdot [/mm] i$
In Worten: für [mm] $i\neq [/mm] j$ ist $j! + i! [mm] \cdot [/mm] i$ keine Fakultät. Mein bisheriger Beweis mit Induktion über $n$ sieht so aus:
I.A.: Für $n=1$ folgt für alle [mm] $i,j,\in\IN$ [/mm] mit [mm] $i\neq [/mm] j$ : $n! = 1 < j! + i! [mm] \cdot [/mm] i$
I.V.: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit $n! [mm] \neq [/mm] j! + i! [mm] \cdot [/mm] i$ für [mm] $i\neq [/mm] j$.
I.S.: Es gilt $(n+1)! = n!(n+1) [mm] \neq [/mm] (j! + i! [mm] \cdot [/mm] i)(n+1)$.
Und hier hakt es.. Ich moechte ja zeigen, daß $(n+1)! [mm] \neq [/mm] (j! + i! [mm] \cdot [/mm] i)$. Im Induktionsschluß erhalte ich aber $(n+1)! [mm] \neq [/mm] (j! + i! [mm] \cdot [/mm] i)(n+1)$. Wie bekomme ich das $(n+1)$ auf der rechten Seite der Ungleichung weg?!
Oder bin ich völlig auf dem Holzweg?!
Für einen hilfreichen Tipp wäre ich Euch dankbar 
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> Hallo liebes Forum,
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> Ich muß im Rahmen eines Beweises eine Teilaussage mittels
> Induktion beweisen, was mir aber nicht gelingt.
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> Die Aussage lautet:
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> [mm]\forall i,j,n\in\IN : i\neq j \Rightarrow n! \neq j! + i! \cdot i[/mm]
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> In Worten: für [mm]i\neq j[/mm] ist [mm]j! + i! \cdot i[/mm] keine Fakultät.
> Mein bisheriger Beweis mit Induktion über [mm]n[/mm] sieht so aus:
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> I.A.: Für [mm]n=1[/mm] folgt für alle [mm]i,j,\in\IN[/mm] mit [mm]i\neq j[/mm] : [mm]n! = 1 < j! + i! \cdot i[/mm]
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> I.V.: Sei [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n! \neq j! + i! \cdot i[/mm] für [mm]i\neq j[/mm].
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> I.S.: Es gilt [mm](n+1)! = n!(n+1) \neq (j! + i! \cdot i)(n+1)[/mm].
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> Und hier hakt es.. Ich moechte ja zeigen, daß [mm](n+1)! \neq (j! + i! \cdot i)[/mm].
> Im Induktionsschluß erhalte ich aber [mm](n+1)! \neq (j! + i! \cdot i)(n+1)[/mm].
> Wie bekomme ich das [mm](n+1)[/mm] auf der rechten Seite der
> Ungleichung weg?!
Wegen [mm] $(n+1)!=n!\cdot [/mm] (n+1)$ führt beidseitige Division durch $(n+1)$ auf die äquivalente Ungleichung $n! [mm] \neq j!+i!\cdot [/mm] i$ (effektiv Deine Induktionsvoraussetzung).
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Aber wenn ich das $(n+1)$ wegkürze, bringt mich das ja nicht weiter, da ich zeigen will, daß $(n+1)! [mm] \neq [/mm] (j! + i! [mm] \cdot [/mm] i)$ und nicht, daß $n! [mm] \neq [/mm] (j! + i! [mm] \cdot [/mm] i)$ (was ja bereits I.V. ist) ?! Wie zeige ich die Ungleichung dann für $(n+1)$ im Induktionsschritt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wieso "mußt " Du einen Induktionsbeweis machen ?
Ich denke mit Induktion über n kommst Du nicht weit.
Schau Dir Deine Behauptung nochmal an.
Versuche einen Widerspruchsbeweis
FRED
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> Aber wenn ich das [mm](n+1)[/mm] wegkürze, bringt mich das ja nicht
> weiter,
Du hast recht: ich habe Deine Fragestellung nicht richtig aufgefasst - und auch die ursprüngliche Aufgabe nicht genügend genau angeschaut.
> da ich zeigen will, daß [mm](n+1)! \neq (j! + i! \cdot i)[/mm]
> und nicht, daß [mm]n! \neq (j! + i! \cdot i)[/mm] (was ja bereits
> I.V. ist) ?! Wie zeige ich die Ungleichung dann für [mm](n+1)[/mm]
> im Induktionsschritt?
Wie wärs, wenn Du die Annahme [mm] $(n+1)!=j!+i!\cdot [/mm] i$, die ja, wegen [mm] $(n+1)!=n!+n!\cdot [/mm] n$, nichts anderes ist als [mm] $n!+n!\cdot n=j!+i!\cdot [/mm] i$, aufgrund der Voraussetzung [mm] $j\neq [/mm] i$ widerlegen würdest? Zum Beispiel können nicht beide, $j$ und $i$, kleiner als $n$ sein, weil sonst die linke Seite grösser ist als die rechte. Natürlich kann auch weder $j$ noch $i$ grösser als $n$ sein, weil sonst die rechte Seite grösser wäre als die linke. Bleibt noch der Fall, dass ($j=n$ und $i<n$) oder ($j<n$ und $i=n$) ist. In diesen beiden Fällen ist ebenfalls die linke Seite grösser als die rechte.
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Hallo,
Danke für Eure Antworten, ich habe die ursprüngliche Aussage jetzt etwas verschärft und ohne Induktion wie folgt aufgedröselt (ohne Widerspruch):
Es gilt:
$n! = (n-1)! + n! - (n-1)!$
$= (n-1)! + (n-1)! [mm] \cdot [/mm] n - (n-1)!$
$= (n-1)! + (n-1)! [mm] \cdot [/mm] (n-1)$
$= j! + i! [mm] \cdot [/mm] i!$
genau dann, wenn $i = n-1 = j$ für alle [mm] $i,j,n\in\IN$
[/mm]
Die Aussage $i = n-1 = j$ ist also etwas schärfer als $i = j$ , aber das sollte ja nicht schaden
Vielen lieben Dank für Eure Hilfe!!
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