Faktorraum u. Spektralzerlegun < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A [mm] \in End_K(V) [/mm] und U ein A-invarianter Unterraum von V . Dann induziert A zwei weitere Endomorphismen:
[mm] $A_{V/U} [/mm] : V/U [mm] \to [/mm] V/U $ mit $v + U [mm] \mapsto [/mm] Av + U$ und
[mm] $A_{U} [/mm] : U [mm] \to [/mm] U $ mit $u [mm] \mapsto [/mm] Au$
(a) Beweisen Sie:
[mm] $Spec(A_U) \subseteq [/mm] Spec(A) [mm] \subseteq Spec(A_U) \cup Spec(A_{V/U} [/mm] )$
(b) Es sei die Abbildung [mm] \overline{A} [/mm] : [mm] \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 [/mm] gegeben durch v [mm] \mapsto [/mm] Av mit
A = [mm] \pmat{3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ -1 & 2 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & 0}
[/mm]
Weiterhin sei U := V [mm] (\overline{A}, [/mm] 1).
Bestimmen Sie eine Basis von [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] /U, sowie [mm] \overline{A}_{\mathbb{R}^4/U} [/mm] |
Hallo liebe Vorhelfer,
bei diesem Beweis komme ich einfach nicht klar. Es ist ja eine Art "Ungleichungskette". Deshalb muss ich zeigen, dass
[mm] $Spec(A_U) \subseteq [/mm] Spec(A) [mm] \subseteq Spec(A_U) \cup Spec(A_{V/U} [/mm] )$
d.h. alle $a [mm] \in Spec(A_U) [/mm] $ auch in $Spec(A)$ liegen, und alle $a [mm] \in [/mm] Spec(A)$ sollen in [mm] $Spec(A_U) \cup Spec(A_{V/U} [/mm] )$ liegen.
D.h. man sollte das von "links" quasi aufrollen und aufgrund der Transititvität der Inklusion reicht das, wenn ich die zwei Dinge zeige.
Wir haben bei dem Beweis vom Satz von Cayley Hamilton sowas ähnliches verwendet. Dort haben wir einen A-invarianten Unterraum U von V definiert und bemerkt, dass das charakteristische Polynom von A zerfällt, nämlich, dass:
[mm] $\chi_A(x) [/mm] = [mm] \chi_{A_U}(x) \chi_{A_{V/U}}(x) [/mm] $ ist.
Ich nehme an, genau dass muss ich hier verwenden, oder noch mal beweisen. Ich denke mit diesem Wissen ist der Beweis relativ einfach, aber eben das kann ich nicht.
Ist nämlich
$a [mm] \in Spec(A_U) [/mm] $, dann ist [mm] \chi_{A_U}(a) [/mm] = 0, d.h. es ist auch eine Nullstelle von [mm] \chi_A(x) [/mm] , d.h. es liegt auch im Spektrum von A.
Damit wäre doch die erste Inklusion gezeigt.
Im Endeffekt funktioniert die zweite genauso, da wir ja einen Nullteilerfreien Ring mit den Polynomen haben.
Ich versteh nur nicht, was ich jetzt so groß zeigen soll, kann... ist der Ansatz so richtig? Und wie
Zu b) hatte ich bisher folgende "Gedanken".
Dieser A-invariante Unterraum U := V [mm] (\overline{A}, [/mm] 1) ist ein Eigenraum vom Eigenwert 1.
Das charakteristische Polynom ist nämlich:
[mm] \chi_A(x) [/mm] = [mm] (x-1)^2 [/mm] (x-2) (x-4)
$U := V [mm] (\overline{A}, [/mm] 1) = Kern(E - A) = { [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] } $.
Jetzt muss ich doch ein Komplement zu diesem Vektorraum finden, oder? Damit ich eine Basis für [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] /U finden kann?
Ich würde mich über Feedback und Hilfe freuen...
Einen schönen Sonntag euch allen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 09.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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