Faktorisierung von Fakultäten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 20.03.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
es geht um die Faktorisierung von n!. Diese soll in Primfaktoren zerlegt werde, die jeweils natürliche Zahlen als Exponenten haben. Ein Beispiel ist:
50! = [mm] 2^{47}*3^{22}*5^{12}*7^{8}*11^{4}*13^{3}*17^{2}*19^{2}*23^{2}*29*31*37*41*43*47
[/mm]
Die Exponenten der Primzahlen können mit folgender Formel gefunden werden:
[mm] \mu_{p}(n!) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}],
[/mm]
wobei die eckigen Klammern die Gaußklammern sind, also die Abrundungsfunktion, p eine Primzahl und n [mm] \in \IN.
[/mm]
Hat diese Formel einen Namen? Ich würde gerne mehr darüber Erfahren.
Wie kann ich außerdem die Konvergenz nachweisen? Ich würde spontan auf das Wurzelkriterium tippen, aber muss ich dort irgendetwas im Bezug auf die Gaußklammern beachten? Sehe die grade zum ersten mal zum Ehrlich zu sein.
Lieben Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Di 20.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was macht es für einen Sinn die summe bis [mm] \infty [/mm] zu rechnen, das kann doch maximal bis [mm] p^i=n [/mm] gehen?
für endliche n ist die Summe sicher endlich
was also genau ist das Problem, und welche Konvergenz ist gesucht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 20.03.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Ich denke, wenn [mm] p^{i} [/mm] > n ist, dann konvergiert die Reihe und somit erhalte ich den Exponenten des jeweiligen Primfaktors. Mein Problem ist nun auf dieses Exponenten rechnerisch zu kommen.
Ich habe das aus einem Buch (auf Englisch), wenn es hilft kann ich ja mal die entsprechende Stelle fotografieren, sofern dies erlaubt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 20.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da ea sich nur um endliche Reihen handelt, ist es nicht sinnvoll von Konvergenz zu reden. du musst eben einfach die Summe bilden, also was willst du genau? du kannst das doch für jedes p ausrechnen, wobei alle [mm] n\le p\le [/mm] sqrt{p} nur mit der Potenz 1 vorkommen.
meinst du eine Vereinfachung, bei der du ne einfache Formel für jedes p hast und nicht mehr addieren musst?
Gruss leduart
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Ja ich weiß, die Frage ist schon ein Tag her.
Die Aussage ist der Satz von Legendre.
Schnelles googlen nach dem Namen liefert
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster/v/azt11/anazth_02.pdf
Satz 2.4.
gruß wieschoo
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