Faktorgruppe, isom. Einbettung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:24 Mo 25.07.2011 | | Autor: | rammy |
| Aufgabe | | Beim Lernen für die Algebra Prüfung stehe ich einigen Unklarheiten bevor: |
1.) G/G={G} das geht mir noch ein, aber das hier:
Warum ist G/G [mm] \cong [/mm] {e}. (Also die Faktorgruppe, G nach G isomorph zu der Menge des neutralen Elements?)
2.)GL(n,K)/SL(n,K) [mm] \cong K\{0\}
[/mm]
3.) Was passiert bei der isomorphen Einbettung? Also speziell hier in diesem Schritt, der Rest leuchtet mir in Etwa ein:
[mm] \IC [/mm] = [mm] ((\IRx\IR)\f(\IR)) \cup \IR.
[/mm]
Warum wird [mm] f(\IR) [/mm] ausgeschlossen?
|
|
| |
|
Hallo rammy,
> Beim Lernen für die Algebra Prüfung stehe ich einigen
> Unklarheiten bevor:
>
> 1.) G/G={G} das geht mir noch ein, aber das hier:
> Warum ist [mm]G/G[/mm] [mm]\cong[/mm] [mm]\{e\}[/mm]. (Also die Faktorgruppe, G nach G
> isomorph zu der Menge des neutralen Elements?)
Ich würde meinen, dahinter steckt der (1.) Isomorphiesatz.
Betrachte den G-Homomorphismus [mm]\varphi:G\to G, g\mapsto e[/mm] ([mm]e[/mm] neutrales Element in [mm]G[/mm])
Dann ist [mm]\operatorname{ker}(\varphi)=G[/mm], also [mm]G/\underbrace{\operatorname{ker}(\varphi)}_{=G}\cong\underbrace{\varphi(G)}_{=\{e\}}[/mm]
>
> 2.)GL(n,K)/SL(n,K) [mm]\cong K\setminus\{0\}[/mm]
Frage?
>
> 3.) Was passiert bei der isomorphen Einbettung? Also
> speziell hier in diesem Schritt, der Rest leuchtet mir in
> Etwa ein:
>
> [mm]\IC[/mm] = [mm]((\IRx\IR)\f(\IR)) \cup \IR.[/mm]
Laut Quelltext: [mm]\IC=((\IR\times\IR)\setminus f(\IR))\cup\IR[/mm] <-- klick mal drauf!
>
> Warum wird [mm]f(\IR)[/mm] ausgeschlossen?
Was ist [mm]f[/mm] ??
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:57 Mo 25.07.2011 | | Autor: | rammy |
Ich danke dir für die kompetente Hilfestellungen / Erklärungen.
Punkt 1 ist mir nun ganz klar.
Bzgl. Punkt 2:
Die spezielle lineare Gruppe nach der allgemeinen linearen Gruppe soll isomorph zu einem Körper K ohne der Nullmenge isomorph sein? Das kann ich irgendwie nicht verstehen, bzw. verstehe ich es doch, aber falsch oder so!
Punkt 3:
Die Funktion f ordnet jedem x den Wert 0 zu, wird deswegen dieses aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, da sonst alle Werte auf 0 abgebildet werden und nicht in der (gausschen) Ebene verteilt bzw. als Punkte angesehen werden?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
zu Punkt 2)
> Ich danke dir für die kompetente Hilfestellungen /
> Erklärungen.
> Punkt 1 ist mir nun ganz klar.
Gut!
>
> Bzgl. Punkt 2:
> Die spezielle lineare Gruppe nach der allgemeinen linearen
> Gruppe soll isomorph zu einem Körper K ohne der Nullmenge
> isomorph sein? Das kann ich irgendwie nicht verstehen, bzw.
> verstehe ich es doch, aber falsch oder so!
Wie in Punkt 1:
[mm] $\varphi=\operatorname{det}$ [/mm] die Determinantenabb.
[mm] $\operatorname{det}:\operatorname{Gl}(n,\IK)\to \IK\setminus\{0\}, A\mapsto \operatorname{det}(A)$
[/mm]
Invertierbare Matrizen haben nicht verschwindende Determinante.
Was ist der Kern der Determinantenabb.? Was das Bild?
Was gilt demnach nach dem 1.Isom.satz?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 25.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Punkt 3:
> Die Funktion f ordnet jedem x den Wert 0 zu, wird deswegen
> dieses aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, da sonst
> alle Werte auf 0 abgebildet werden und nicht in der
> (gausschen) Ebene verteilt bzw. als Punkte angesehen
> werden?
Ich habe Zweifel, dass es sich um die Funktion $f : [mm] \IR \to \IR \times \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] 0$ handelt. Schreibe bitte mal die formale Definition von $f$ auf.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 27.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 27.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
