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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 04.10.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Betrachte die Untergruppe H:={ [mm] \pm1,\pmi [/mm] } von [mm] \IC^{*}. [/mm] Beschreibe explizit die Nebenklassen von H in [mm] \IC^{*} [/mm] und zeige, dass die Faktorgruppe [mm] \IC^{*}/H [/mm] zu [mm] \IC^{*} [/mm] isomorph ist.
(komplexe Zahlen ohne Null, man kann es momentan nicht erkennen) |
Also ich dachte zuerst einmal, dass die Untergruppe H eine Untergruppe der kleinschen Vierergruppe sei, aber das hilft mir ja nicht weiter....
Laut Definition der Nebenklassen:
G Gruppe, H<G Untergruppe,
Linksnebenklasse ist eine Menge der Gestalt:
aH:={aH| h [mm] \in [/mm] H, a [mm] \in [/mm] G}
a+H:={a+H| h [mm] \in [/mm] H, a [mm] \in [/mm] G}
Rechtsnebenklassen: Menge der Gestalt:
Ha:={Ha| h [mm] \in [/mm] H, a [mm] \in [/mm] G}
H+a:={H+a| h [mm] \in [/mm] H, a [mm] \in [/mm] G}
Wie weiter? Bzw. Wie soll ich jetzt dies auf das Beispiel anwenden?
Und was ist die Faktorgruppe?
Puuh bin total überfordert.
Wäre froh, wenn mir das jemand in einfachen!! Worten erklären könnte...
mfg :)
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Hallo!
Also erstmal sind hier Links- und Rechtsnebenklasse wegen Kommutativität das gleiche.
Sei z eine komplexe Zahl. Dann ist die Nebenklasse von z
[mm] [z]=\{z*h| h \in H\}=\{\pm z\}. [/mm]
Nimmt man also modulo H, so kommt es "aufs Vorzeichen" nicht mehr an, bzw. kommt es auf eine Drehung um [mm] \pi [/mm] (Multiplikation mit -1) nicht mehr an.
Um die Isomorphie zu zeigen, konstruiere dir am besten einen surjektiven Gruppenhomomorphismus [mm] \IC^{\star}\rightarrow \IC^{\star} [/mm] mit Kern H. Dann folgt die Isomorphie aus dem Homomorphiesatz.
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