Faktorgruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:38 Di 25.05.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo allezusammmen,
ich habe diese Aufgabe und ich habe grad keine Aghnung wie ich da ran gehen soll.
Es seien [mm]n,m\in\IN[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]\IZ^n \cong \IZ^m[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]n=m[/mm] ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für eine abelsche Gruppe A und eine Primzahl p die Faktorgruppe [mm]A/pA[/mm] als [mm]\IZ_p[/mm]-Vektorraum betrachtet werden kann (wie?).
Danke schon im voraus
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 25.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nick,
nehmen wir mal an, wir hätten den Hinweis gezeigt.
Dann würde für eine Primzahl $p$ aus der Gruppenisomorphie
[mm] $\IZ^n \cong \IZ^m$
[/mm]
die [mm] $\IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$-Vektorraumisomorphie [/mm]
[mm] $\IZ^n/p\IZ^n \cong \IZ^m/p\IZ^m$
[/mm]
folgen.
Nun ist aber (als [mm] $\IZ_p$-Vektorräume!):
[/mm]
[mm] $\IZ^n/p\IZ^n \cong (\IZ/p\IZ)^n$
[/mm]
und
[mm] $\IZ^m/p\IZ^m \cong (\IZ/p\IZ)^m$.
[/mm]
Wir hätten also:
[mm] $K^n \cong K^m$
[/mm]
für den Primkörper [mm] $K=\IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$.
[/mm]
Daraus folgt aber bekanntlich $n=m$ (eindeutige Länge der (Standard-)Basis).
Naja, jetzt musst du noch den Hinweis zeigen. Aber einen eigenständigen Versuch oder wenigstens eine Idee will ich da wenigstens schon mal sehen!
Liebe Grüße
Stefan
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