F Linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Zelda |
| Aufgabe | Hier wird mit [mm]\IR^{n}[/mm] der Zeilenraum [mm]\IR^{1xn}[/mm] bezeichnet; [mm]n\geq 5[/mm]. Untersuchen Sie auf [mm]\IR[/mm]-Linearität.
[mm]F:\IR^{n}\to\IR^{n}, x=(x_{0},x_{1},...,x_{n-1}) \to(x_{1},...,x_{n-1},x_{0}+x_{3}+x_{0})[/mm] |
Also, ich nehme jetzt einfach an, daß n=5 ist und übertrage [mm]x=(x_{0},x_{1},...,x_{n-1}) \to(x_{1},...,x_{n-1},x_{0}+x_{3}+x_{0})[/mm] in eine Matrix A.
Dann erhalte ich [mm]A= \pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 2}[/mm],... anhand dieser Matrix zeige ich dass das Bild(f) von den Spalten der Matrix A erzeugt wird?
Also ich bin mir unsicher, ob ich die Matrix A richtig aufgeschrieben habe und ob das der Weg zum Ziel ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hier wird mit [mm]\IR^{n}[/mm] der Zeilenraum [mm]\IR^{1xn}[/mm] bezeichnet;
> [mm]n\geq 5[/mm]. Untersuchen Sie auf [mm]\IR[/mm]-Linearität.
> [mm]F:\IR^{n}\to\IR^{n}, x=(x_{0},x_{1},...,x_{n-1}) \to(x_{1},...,x_{n-1},x_{0}+x_{3}+x_{0})[/mm]
>
> Also, ich nehme jetzt einfach an, daß n=5 ist und
> übertrage [mm]x=(x_{0},x_{1},...,x_{n-1}) \to(x_{1},...,x_{n-1},x_{0}+x_{3}+x_{0})[/mm]
> in eine Matrix A.
>
> Dann erhalte ich [mm]A= \pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 2}[/mm],...
Wie bist Du darauf gekommen ?
> anhand dieser Matrix zeige ich dass das Bild(f) von den
> Spalten der Matrix A erzeugt wird?
>
> Also ich bin mir unsicher, ob ich die Matrix A richtig
> aufgeschrieben habe
Hast Du nicht.
> und ob das der Weg zum Ziel ist.
Prüfe doch nach, ob
F(x+y)=F(x)+F(y) und F(tx)=tF(x) für alle x,y [mm] \in \IR^n [/mm] und alle t [mm] \in \IR [/mm] gilt oder nicht.
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Zelda |
Das andere habe ich gemacht und damit gezeigt, dass F linear ist. Ich suche halt noch einen anderen Weg, und habe jetzt auch gesehen, dass meine letzte Zeile falsch ist.
[mm][/mm]
|
|
|
| |
|
>
> Das andere habe ich gemacht und damit gezeigt, dass F
> linear ist. Ich suche halt noch einen anderen Weg, und habe
> jetzt auch gesehen, dass meine letzte Zeile falsch ist.
Hallo,
von welcher letzen Zeile redest Du?
Was meinst Du mit "übertrage ich in eine Matrix"?
Sofern Du damit meinst, daß Du die Darstellungsmatrix von A aufstellen möchtest, müßtest Du erstmal festlegen, bzgl welcher Basis das sein soll.
Sicher bzgl der Standardbasis des Zeilenraums.
In die Spalten der Matrix kommen dann die Bilder der Standardbasisvektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasisvektoren.
Ich finde ja, daß so ein gewisses Verkomplizierungs- und Verwirrungspotential eingebaut ist, und würde unbedingt Freds Weg bevorzugen.
Gruß v. Angela
> [mm][/mm]
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Zelda |
Hallo Angela, ich belasse es jetzt auch auf dem Weg von Fred. Mein Gedanke war, zur Übung für mich: angenommen n=5:[mm]F\pmat{x0\\
x1\\
x2\\
x3\\
x4}=\pmat{x1\\
x2\\
x3\\
x4\\
x0+x3+x0}=\pmat{1x1 & 0x1 & 0x1 & 0x1 & 0x1\\
0x2 & 1x2 & 0x2 & 0x2 & 0x2\\
0x3 & 0x3 & 1x3 & 0x3 & 0x3\\
0x4 & 0x4 & 0x4 & 1x4 & 0x4\\
0x0+x3+x0 & 0x0+x3+x0 & 0x0+x3+x0 & 0x0+x3+x0 & 1x0+x3+x0}=
[/mm]
[mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1}\wegde\pmat{x0\\
x1\\
x2\\
x3\\
x4}[/mm]. Wenn ich jetzt die Riesenmatrix oben in einzelne Spaltenvektoren zerlege und die Skalarmultiplikation ebenso rückwärts durchführe wie die Matrizenmultiplikation eben, dann erhalte ich das Erzeugendensystem von Bild(F).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Zelda |
Wenn ich jetzt zeigen möchte, dass F injektiv ist, sehe ich, dass dim [mm]F_{A}[/mm]=5, dim Bild (F)=5, nach der Dimensionsformel folgt, dass dim Kern(F)=0, also ist Kern (F)={0}[mm][/mm] F ist injektiv.
? :)
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich jetzt zeigen möchte, dass F injektiv ist, sehe
> ich, dass dim [mm]F_{A}[/mm]=5, dim Bild (F)=5, nach der
> Dimensionsformel folgt, dass dim Kern(F)=0, also ist Kern
> (F)={0}[mm][/mm] F ist injektiv.
>
> ? :)
> Liebe Grüße
>
Ja, das kannst Du so machen. Aber man sieht doch auf einen Blick, dass
[mm] $F((x_{0},x_{1},...,x_{n-1}))=(x_{1},...,x_{n-1},x_{0}+x_{3}+x_{0}) [/mm] $
trivialen Kern hat.
FRED
|
|
|
| |
|
> sehe
> ich, dass dim [mm]F_{A}[/mm]=5,
Hallo,
was soll das bedeuten?
Vektorräume haben eine Dimension.
Und was für ein Vektorraum soll [mm] F_A [/mm] sein?
Abbildungen haben keine Dimension. Matrizen haben keine Dimension.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > sehe
> > ich, dass dim [mm]F_{A}[/mm]=5,
>
> Hallo,
>
> was soll das bedeuten?
> Vektorräume haben eine Dimension.
> Und was für ein Vektorraum soll [mm]F_A[/mm] sein?
> Abbildungen haben keine Dimension. Matrizen haben keine
> Dimension.
>
Hallo Angela,
ich hab das so interpretiert:
dim Bild (F)=5.
Gruß FRED
> Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
> > > sehe
> > > ich, dass dim [mm]F_{A}[/mm]=5,
> >
> > Hallo,
> >
> > was soll das bedeuten?
> > Vektorräume haben eine Dimension.
> > Und was für ein Vektorraum soll [mm]F_A[/mm] sein?
> > Abbildungen haben keine Dimension. Matrizen haben keine
> > Dimension.
> >
>
> Hallo Angela,
>
> ich hab das so interpretiert:
>
> dim Bild (F)=5.
>
> Gruß FRED
Hallo Fred,
sie meint aber etwas anderes, denn BildF=5 kommt in dem Beitrag auch noch vor.
Sie meint - vermute ich - daß ihre Matrix A eine [mm] 5\times [/mm] 5-Matrix ist
(Wobei es hier dann auch schon wieder ein Wirrwarr mit A und [mm] F_A [/mm] gibt.),
und eigentlich will sie wohl sagen, daß F aus einem 5-dimensionalen Raum heraus abbildet, daß also dim V=5 in dimV=dimKernF +dimBildF.
Ich bin eigentlich nicht kleinlich, kann in allen Lebenslagen auch mal 5 gerade sein lassen, aber ich finde, die Lernenden verwirren sich selbst so sehr, wenn sie sich nicht angewöhnen, von Anfang an die Begriffe und Bezeichnungen richtig zu benutzen und sehr sorgfältig zu arbeiten.
Fakt ist auf jeden Fall, daß Zelda dimV=dimKernF +dimBildF hier richtig und sinnvoll anwendet, was Du - adventlich mild gestimmt und interpretationsbereit - ja auch gewürdigt hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela, ich belasse es jetzt auch auf dem Weg von
> Fred. Mein Gedanke war, zur Übung für mich: angenommen
> n=5:[mm]F\pmat{x0\\
x1\\
x2\\
x3\\
x4}=\pmat{x1\\
x2\\
x3\\
x4\\
x0+x3+x0}=\pmat{1x1 & 0x1 & 0x1 & 0x1 & 0x1\\
0x2 & 1x2 & 0x2 & 0x2 & 0x2\\
0x3 & 0x3 & 1x3 & 0x3 & 0x3\\
0x4 & 0x4 & 0x4 & 1x4 & 0x4\\
0x0+x3+x0 & 0x0+x3+x0 & 0x0+x3+x0 & 0x0+x3+x0 & 1x0+x3+x0}=[/mm]
>
> [mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1}\wegde\pmat{x0\\
x1\\
x2\\
x3\\
x4}[/mm].
Hallo,
mir ist absolut unklar, was Du hier gerade verzapfst.
Daß hier etwas im Argen ist, merkst Du wenn Dir aufgeht, daß Deine darstellungsmatrix die Einheitsmatrix ist.
Es ist
[mm] \pmat{x1\\
x2\\
x3\\
x4\\
x0+x3+x0}\red{\not=}\pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1}\wegde\pmat{x0\\
x1\\
x2\\
x3\\
x4}
[/mm]
> Wenn ich jetzt die Riesenmatrix oben in einzelne
> Spaltenvektoren zerlege und die Skalarmultiplikation ebenso
> rückwärts durchführe wie die Matrizenmultiplikation
> eben,
Ich weiß nicht, was du meinst.
Gruß v. Angela
> dann erhalte ich das Erzeugendensystem von Bild(F).
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Di 13.12.2011 | | Autor: | Zelda |
Danke erstmal, ich setze mich nochmal daran, habe nur noch 3 std bis zur abgabe und versuche es anders.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Di 13.12.2011 | | Autor: | Zelda |
Wie erstelle ich denn eine Darstellungsmatrix aus den mir gegebenen Werten? Ich verstehe es nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \{e_1,...,e_n\} [/mm] die Standardbasis des [mm] \IR^n.
[/mm]
Die j-te Spalte der gesuchten Matrix bekommst Du wie folgt:
bestimme [mm] t_1,...,t_n \in \IR [/mm] mit
[mm] F(e_j)=t_1e_1+...+t_ne_n.
[/mm]
Dann ist die j-te Spalte:
[mm] t_1
[/mm]
[mm] t_2
[/mm]
.
.
.
[mm] t_n
[/mm]
FRED
|
|
|
|
