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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Di 20.09.2005 | | Autor: | Kinta |
HUHu^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und jetzt frag ich mich wie geht es weiter , also die Aufgabe.
Gegeben ist ein Rechteck mit dem Umfang 12 cm. Wie sind die Seiten zu wählen , damit das Rechteck eine möglichst große Fläche hat.
So erstmal habe ihc ja festgelegt :
a x b
und ich komm jetzt ent weiter :( , verstehe net wie ich das amchen soll,
Danke schonmal (auch besonderen dank an denjenigen der mir letztes mal geholfen hat)
Gretez Kinta :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Di 20.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Kinta!
> Gegeben ist ein Rechteck mit dem Umfang 12 cm. Wie sind die
> Seiten zu wählen , damit das Rechteck eine möglichst große
> Fläche hat.
>
> So erstmal habe ihc ja festgelegt :
>
> a x b
Genau. Die Funktion
$f(a,b)=a [mm] \cdot [/mm] b$
soll (unter einer noch zu findenden Nebenbedingung) maximiert werden.
Die Nebenbedingung ist diese hier:
"ein Rechteck mit dem Umfang 12 cm".
Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$? Na, das weißt du sicherlich: $U=2a+2b$.
Und dies soll gleich $12$ sein... Also:
$2a+2b=12$.
Dies kann man nach $b$ auflösen:
[mm] $\red{b =6-a}$
[/mm]
und in die zu maximierende Funktion $f(a,b)$ einsetzen:
[mm] $f(a,\red{6-a})=a \cdot \red{(6-a)}= 6a-a^2$.
[/mm]
Wir müssen also jetzt nur noch die Funktion
[mm] $g(a)=6a-a^2$
[/mm]
maximieren. Der Definitionsbereich ist gegeben durch: $0 < a < 6$ (denn die eine Seite eines Rechtecks mit Umfang $12$ muss kleiner als $6$ sein, da sie ja zweimal vorkommt).
Schaffst du es, das Maximum von $g$ zu bestimmen? 
(Ableiten, Ableitung gleich $0$ setzen, 2. Ableitung ausrechnen oder Vorzeichenkriterium,...)
Überprüfe dann auch das Verhalten an den Randpunkten $a=0$ und $a=6$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 20.09.2005 | | Autor: | Kinta |
also von g(a) = 6a - a² die ableitung oder wie?
Danke schonmal ^^
Greetz kinta
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Hallo Kinta!
> also von g(a) = 6a - a² die ableitung oder wie?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau so! Und dabei ist dann $a_$ Deine Variable, nach der Du ableiten musst.
Was erhältst Du denn für die ersten beiden Ableitungen $g'(a)_$ und $g''(a)_$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 20.09.2005 | | Autor: | Kinta |
OK :
g´(a) = 6-2a
g" (a) = -2
Greetz Kinta :)
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Hallo Kinta!
> g´(a) = 6-2a
> g" (a) = -2
Und wie lautet nun Deine Nullstelle der 1. Ableitung als mögliche Extremstelle?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 20.09.2005 | | Autor: | Kinta |
ja wie nullstellen berechenen ich dahcte cih muss nur die erste ableitung gelich o setzen , hab ja dann 3 rausbekommen...
Greetz sandra
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Hallo Sandra!
> ja wie nullstellen berechenen ich dahcte cih muss nur die
> erste ableitung gelich o setzen
Das sind doch dann die Nullstellen der ersten Ableitung!
Du hast also alles richtig gemacht!
> hab ja dann 3 rausbekommen...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun in die 2. Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob es sich hierbei um ein Maximum oder Minimum handelt!
Außerdem benötigen wir ja dann noch den Wert $b_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 20.09.2005 | | Autor: | Kinta |
Maximujm wa?
wert b erhalte ich doch wenn ich 3 in g (a) einsetze?
Danke Greetz Sandra
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Hallo Sandra!
> Maximujm wa?
Jo! Aba wie kommste da druff, wesste dit? 
> wert b erhalte ich doch wenn ich 3 in g (a) einsetze?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Damit erhältst Du dann die maximale Fläche!
Aber $b_$ erhalten wir doch durch die Beziehung $b \ = \ 6-a$ (siehe oben).
Gruß vom
Roadrunner
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