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grüßt euch,
ich habe hier ein problem mit einer Aufgabe,... da ich längere Zeit in der Schule gefehlt habe habe ich so meine probleme mit dieser aufgabe ....am besten stelle ich sie mal ....wäre nett wenn mir jemand helfen könnte also die frage lautet......
Welche oben offene Schachtel in der Form einer quadratischen Säule hat bei gegebenem Oberflächeninhalt 3dm² ein möglichst großes Fassungsvermögen?
wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte ...fetten dank im Vorraus
Mal´
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 So 06.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabri,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Welche oben offene Schachtel in der Form einer
> quadratischen Säule hat bei gegebenem Oberflächeninhalt
> 3dm² ein möglichst großes Fassungsvermögen?
Welche Formeln benötigen wir denn hier?
Zunächst einmal die Formel für das Volumen der Schachtel. Hier gilt:
$V \ = \ V(a, h) \ = \ G * h \ = \ [mm] a^2 [/mm] * h$
mit $a$ : Länge der (quadratischen) Grundseite, $h$ : Höhe der Schachtel
Außerdem die Oberfläche der Schachtel. Diese ergibt sich aus der Mantelfläche sowie einer Grundfläche (da Schachtel oben offen):
$O \ = \ [mm] \underbrace{4 * a * h}_{= \ Mantelfl.} [/mm] + [mm] \underbrace{a^2}_{= \ Grdfl.} [/mm] \ = \ 3 \ [mm] dm^2$
[/mm]
Das kann man nun umstellen nach $h$:
$h \ = \ [mm] \bruch{O - a^2}{4a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3 - a^2}{4a}$
[/mm]
Wenn wir das nun einsetzen in die Volumenformel, erhalten wir einen Formel, die nur noch abhängig ist von der Variablen $a$:
$V(a) \ = \ [mm] a^2 [/mm] * h \ = \ [mm] a^2 [/mm] * [mm] \bruch{3 - a^2}{4a} [/mm] \ = \ a * [mm] \bruch{3 - a^2}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \left(3a - a^3 \right)$
[/mm]
Für diese Funktion ist nun einen Extremwertberechnung durchzuführen (also ersten beiden Ableitungen bestimmen, Nullstellen der 1. Ableitung berechnen etc.).
Melde Dich doch nochmal mit Deinem Ergebnis ...
Grüße
Loddar
PS: Und das nächste mal mit etwas mehr eigenen Lösungsansätzen, ok?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 So 06.03.2005 | | Autor: | Malcolm_X |
vielen dank loddar,
ich werde es gleich ausprobieren und das Ergebnis bzw das Ergebnis das ich rausbekomme hier eintragen .
danke nochmal bis dann
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möchte ob zu der schon gestellten Aufgabe der Definitionsbereich so aussehen könnte also:
erstmal die Zielfunktion:
[mm] \bruch{1}{4}* [/mm] (3a-a³)
die rechunung zur bestimmung des Diffenitionsbereiches hab ich wie folgt auf gestellt:
3a-a³ [mm] \ge [/mm] 0
-a³ [mm] \ge [/mm] -3a
a² [mm] \le [/mm] -3 /wurzel
???
was habe ich falsch gemacht habe ich vielleicht den ganz falschen ansatz genommen hab e immer probleme vorallem mit dem Definitionsbereich wäre lieb wenn mir jemand helfen könnte.
greetz Mal´
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Hi, [mm] Malcom_X,
[/mm]
mit [mm] a\ge0 [/mm] folgt aus der Ungleichung [mm] 3a-a^{3}\ge0
[/mm]
[mm] a^{2} \le [/mm] 3 und damit letztlich: 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le \wurzel{3}.
[/mm]
So! Nun wieder Du!
mfG!
Zwerglein
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Extremwertberechnung:
V '(a_max)=0 und V ''(a_max) < 0
V(a) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * (3a-a³)
= - [mm] \bruch{1}{4} a³+\bruch{3}{4} [/mm] a
V '(a)= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a² + [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
V ''(a)= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a
1. Bedingung: V' [mm] (a_e) [/mm] = 0
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a² + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = 0 / [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a² = - [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
a² = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] / [mm] \wurzel
[/mm]
a_e1 [mm] \approx [/mm] 1,22 oder a_e2 [mm] \approx [/mm] -1,22
2 Bedingung: V '' [mm] \ne [/mm] 0
V '' (1,22) = -0,61 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Max.
[mm] \Rightarrow [/mm] a=1,22
h= [mm] \bruch{3-a²}{4a}
[/mm]
= [mm] \bruch{3 - (1,22)²}{4*(1,22)}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 2,7
Randwertuntersuchung
V(a) 0 a²*h
V(1,22) = (1,22)² * [mm] \bruch{3-(1,22)²}{4*(1,22)}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 0,31
V( [mm] \wurzel{3})= (\wurzel{3})² [/mm] - [mm] \bruch{3-( \wurzel{3})²}{4*(1,22)}
[/mm]
= 3
So also ich hab jetzt mal alles fertiggestellt konnte es nicht so schnell antworten, da ich noch zu tun hatte hätte nur noch eine frage und zwar stimmt das ergebnis und was heisst das für die Fragestellung die denn hieß:
Welche oben offene Schachtel in der quadratischen Säule hat bei gegebenem Oberflächeninhalt ein möglichst großes Fassungsvermögen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 06.03.2005 | | Autor: | leduart |
> Extremwertberechnung:
>
> V '(a_max)=0 und V ''(a_max) < 0
>
> V(a) = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * (3a-a³)
> = - [mm]\bruch{1}{4} a³+\bruch{3}{4}[/mm] a
>
> V '(a)= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] a² + [mm]\bruch{3}{4}
[/mm]
> V ''(a)= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] a
>
>
> 1. Bedingung: V' [mm](a_e)[/mm] = 0
>
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] a² + [mm]\bruch{3}{4}[/mm] = 0 /
> [mm]-\bruch{3}{4}
[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] a² = - [mm]\bruch{3}{4}
[/mm]
> a² = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] /
> [mm]\wurzel
[/mm]
>
> a_e1 [mm]\approx[/mm] 1,22 oder a_e2 [mm]\approx[/mm]
> -1,22
Richtig! zweiter Wert aussehalb Definitionsbereich V>0
> 2 Bedingung: V '' [mm]\ne[/mm] 0
>
> V '' (1,22) = -0,61 < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Max.
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=1,22
> h= [mm]\bruch{3-a²}{4a}
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3 - (1,22)²}{4*(1,22)}
[/mm]
>
> [mm]\approx[/mm] 2,7
Falsch! Nachrechnen h<1!
> > Randwertuntersuchung
>
> V(a) 0 a²*h
>
> V(1,22) = (1,22)² * [mm]\bruch{3-(1,22)²}{4*(1,22)}
[/mm]
> [mm]\approx[/mm] 0,31
Falsch Nachrechnen!
>
> V( [mm]\wurzel{3})= (\wurzel{3})²[/mm] - [mm]\bruch{3-( \wurzel{3})²}{4*(1,22)}
[/mm]
Falsch! oben hattest du doch selbst, dass hier V=0 ist ! Ist das - Zeichen ein Versehen, oder hast du Wirklich statt mal - gerechnet.
>
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> So also ich hab jetzt mal alles fertiggestellt konnte es
> nicht so schnell antworten, da ich noch zu tun hatte hätte
> nur noch eine frage und zwar stimmt das ergebnis und was
> heisst das für die Fragestellung die denn hieß:
> Welche oben offene Schachtel in der quadratischen Säule
> hat bei gegebenem Oberflächeninhalt ein möglichst großes
> Fassungsvermögen?
Die richtige Antwort ist : Die Schachtel mit der Grundseite a=1.22 und der Hoehe h = ...ist Maximal und hat das Volumen V=....
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 So 06.03.2005 | | Autor: | Malcolm_X |
bedanke mich bei euch allen, hat mir sehr weiter geholfen !!!!!!
greetz mal´
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