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Extremwertprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Do 21.09.2006
Autor: dietotenhosen2

Aufgabe
Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat?

untere Rechteckseite: x
die anderen beiden: y

Soweit ich das richtig habe siehts bisher so aus:

[mm] x=U-2\pi-2y [/mm]
[mm] 2y=U-2\pi-x [/mm]

Nur beim Einsetzen kommt x=x raus, bringt also nicht viel!
Was hab ich falsch gemacht und wie gehe ich weiter vor?

        
Bezug
Extremwertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Do 21.09.2006
Autor: Fulla

hi dietotenhosen2!

hmm.... da kommt x=x raus, weil es dieselbe gleichung ist...

aber, so wie ich das sehe, ist die gleichung falsch. mit deinen bezeichnungen (untere rechteckseite = x, andere seite = y, d.h. der radius des halbkreises ist x/2) ist der umfang:

[mm]U=\bruch{x}{2}*\pi+x+2y=x*\left(\bruch{\pi}{2}+1\right)+2y[/mm]

dann brauchst du noch die formel für den flächeninhalt:

[mm]A=\left(\bruch{x}{2}\right)^2*\pi*\bruch{1}{2}+xy=x^2*\bruch{\pi}{8}+xy[/mm]

jetzt kannst du den umfang nach einer variablen (zum beispiel y) auflösen und in die formel für den flächeninhalt einsetzen.
du bekommst dann eine funktion [mm]A(x)[/mm] mit einer konstanten [mm]U[/mm].
davon kannst du das minimum berechnen (das x). das y bekommst du über die formel vom umfang. und fertig :-)


lieben gruß,
Fulla


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