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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 05:27 Di 22.04.2008 | | Autor: | Debby |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionsschar [mm] ft(x)=\bruch{t+ln x}{x}, [/mm] ihr Schaubild sei [mm] K_{t}
[/mm]
Die Gerade schneidet [mm] K_{t} [/mm] in P und [mm] K_{t*} [/mm] in P*. Der Punkt Q (2/1) sei der Schnittpunkt der Kurventangenten in P und P*. (t<t*)
Die Punkte P , P* und Q sind Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks.(rechter Winkel bei Q) Für welche Werte von t und t^* wird der Inhalt dieses Dreiecks minimal? |
Hallo!
Die Fragestellung ist mir an sich schon klar, nur dann kommt bei mir eine falsche Aussage am Ende heraus.
Zuerst die Bedingung mit dem rechten Winkel:
Dafür müssen die Steigungen in P und P* orthogonal zueinander sein.
Um das berechnen zu können muss ich erst einmal die erste Ableitug bestimmen:
[mm] f'(x)=\bruch{1-t-ln x}{x^2}
[/mm]
Da P und P* den x- Wert 1 haben, muss ich die Steigung an der Stelle 1 bestimmen:
[mm] f_t [/mm] '(1)=- [mm] \bruch{1}{f_t*(1)}
[/mm]
das aufgelöst ergibt:
[mm] 1-t=\bruch{1}{1-t*}
[/mm]
[mm] t=\bruch{1}{1-t*}*1
[/mm]
Der Flächeninhalt des Dreieckes lässt sich über die Formel 0,5*g*h berechnen. dabei ist g [mm] \overline{PQ} [/mm] und h [mm] \overline{P*Q}
[/mm]
A=0,5* [mm] \wurzel{(1-t*)^2+(2-1)^2}*\wurzel{(1-(1+\bruch{1}{1-t*}))^2+(2-1)^2}
[/mm]
[mm] =0,5*\wurzel{2-2t*+t*^2}*\wurzel{\bruch{3-2t*+t*^2}{2-2t*+t*^2}}
[/mm]
= [mm] 0,5*\wurzel{3-2t*+t*^2}
[/mm]
A' = [mm] 0,5*\bruch{1*(-2+2t*}{2*\wurzel{3-2t*+t*^2}}
[/mm]
A'=o => -2+2t*=0 t*=1
und das kann nicht sein. wenn ich nun nämlich t ausrechnen will, muss ich ja in die oberste Gleichung wieder einsetzen. und dan bekomme ich für t auch 1. Das kann aber nicht sein, da in der Angabe ja steht t<t*
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte!!
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt!
liebe Grüße aus den Tropen
Debby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:14 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Debby!
> [mm]f'(x)=\bruch{1-t-ln x}{x^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da P und P* den x- Wert 1 haben, muss ich die Steigung an
> der Stelle 1 bestimmen:
Wie kommst Du denn darauf?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Debby!
> Die Gerade schneidet [mm]K_{t}[/mm] in P und [mm]K_{t*}[/mm] in P*.
Welche Gerade denn? Diese solltest Du uns schon verraten ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Di 22.04.2008 | | Autor: | Debby |
Hallo Lodder!
sorry, das hatte ich ganz übersehen.
Die Gerade lautet x=1.
Daher komme ich auch darauf, dass P und P* die x-Werte 1 haben müssen.
Danke für deine Hilfe
Debby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 24.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Aufgebe so ist meiner Meinung nach nicht Lösbar, da kein Dreieck
entsteht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meinst du mit p vielleicht den Schnittpunkt der Tangente an [mm] f_{t} [/mm] durch Q, und mit P* den der Normale? Das würde Sinn machen, und auch den rechten Winkel entstehen lassen.
Dazu bilde dann mal die Tangente und die Normale. an [mm] f_{t} [/mm] durch Q(2/1)
Hast du diese, kannst du die Punkte P und P* bestimmen.
Und dann Skizziere mal das Dreieck, und b#rechne die Fläche, die du dann maximieren musst.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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