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| Aufgabe | Hallo!
Wir haben in Mathe so eine Aufgabe aufbekommen, die ich nicht hinbekomme:
Ein Bauer möchte ein neues Getreidesilo, dass die Form eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel erhalten und 80 m³ Getreide fassen soll. Die gesamte Innenfläche des Silos soll mit einem teuren Isolationsmaterial verkleidet werden. Untersuche, ob es Maße fpr die geplante Form des Silos gibt, bei denen die Kosten der Isolierung möglichst gering werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gegeben ist ja nun das Volumen von 80m³ und gesucht ist die Oberfläche, oder? Also: A(Mantel des Zylinders) + A(Grundfläche des Zylinders) + 1/2 A (Oberfläche der Kugel)
Die Formeln habe ich auch rausgesucht:
A(Mantel)=2*pi*r*h
A(Grundfläche)=pi*r²
A(Oberfläche Kugel)=4*pi*r² oder 1/6 * pi*d³ und davon dann die Hälfte, weil wir ja nur einen Halbkreis haben
und dann habe ich mir noch überlegt, dass die Oberfläche also möglichst gering sein muss, aber das das Silo ein Volumen von 80m³ fassen muss.
als Extremalbedingung habe ich dann aufgestellt: V=A * h
Nun weiß ich leider nicht mehr weiter. Und ich weiß nicht, wie man die Nebenbedingung aufstellt...also V darf höchstens 80m³ sein.
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Hallo Schokopudding,
> gegeben ist ja nun das Volumen von 80m³ und gesucht ist die
> Oberfläche, oder? Also: A(Mantel des Zylinders) +
> A(Grundfläche des Zylinders) + 1/2 A (Oberfläche der
> Kugel)
gut
> und dann habe ich mir noch überlegt, dass die Oberfläche
> also möglichst gering sein muss, aber das das Silo ein
> Volumen von 80m³ fassen muss.
> als Extremalbedingung habe ich dann aufgestellt: V=A * h
Das wäre ja nur das Volumen des Zylinders, die Halbkugel obendrauf fehlt noch.
Also hast du als Nebenbedingung das Volumen:
[mm] 80m^3 [/mm] = [mm] h\pi r^2 [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}\pi r^3
[/mm]
(das kann man schöner zusammenfassen)
Die Oberfläche ist zu minimieren, also wird das die Zielfunktion sein (hast du oben schon richtig gemacht, nur noch in eine Formel gepresst):
[mm] O(r,h)=2\pi [/mm] rh + [mm] \pi r^2 [/mm] + [mm] 2\pi r^3
[/mm]
(kann man wieder schöner zusammenfassen)
Nun sind dir das sicherlich zu viele Variablen in der Oberflächenfunktion. Deshalb kanns du die Gleichung fürs Volumen nach einer beliebigen Variable umstellen und in die Zielfunktion einsetzen.
Dann wird minimiert.
Gruß
Slartibartfast
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Danke für deine schnelle Antwort. Ich hab nochmal eine Frage:
Du hast gesagt, dass wir nun also als Nebenbedingung haben: 80m³=h*pi*r²+2/3*pi*r³
ist soweit verständlich, aber warum 2/3??? Das Volumen ist doch 4/3* pi*r³.
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Es ist doch nur eine Halbkugel, oder?
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ach, stimmt...oops...entschuldigung...musste da erstmal durchsteigen.
Also danke nochmal!
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sorry, wenn ich nun nochmal eine blöde Frage stelle, aber ich weiß nicht, wie dann zum beispiel die Funktion O(h) aussehen würde. In meinem Buch steht das nicht und gemacht haben wir sowas auch noch nicht.
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Wie ich schon gesagt habe:
Volumenfkt nach zB h auflösen
[mm] h=\bruch{80}{\pi r^2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}r
[/mm]
und in O(h,r) ensetzen
[mm] O(r)=\pi r(2(\bruch{80}{\pi r^2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}r)+3r)
[/mm]
Gruß
Slartibartfast
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