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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Do 05.07.2012 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie nach der Multiplikatorenregel von Lagrange alle Punkte, die für die gegebenen Funktionen unter den jeweiligen Nebenbedingungen als Extremalpunkte in Frage kommen.
[mm] a)z=x^2+y^2, [/mm] mit [mm] (x-2)^2+y^2-9=0
[/mm]
b)z= [mm] 2x^2+y^2, [/mm] mit [mm] x-y^2+1=0 [/mm] |
Hi,
zu a)
[mm] Z(x;y;\lambda)=x^2+y^2-\lambda((x-2)^2+y^2-9)
[/mm]
[mm] Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0
[/mm]
[mm] Z_y=2y-\lambda2y=0
[/mm]
[mm] Z_\lambda=-((x-2)^2+y^2-9)=0=(x-2)^2+y^2-9=0
[/mm]
hier folgt aus der Gleichung [mm] Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0, [/mm] dass [mm] \lambda=\frac{2x}{2x-4}. [/mm] das ist nicht lösbar.
In der Lösung des Tutoriums stehen aber die Lösungen [mm] P_1(5;0) [/mm] und [mm] P_2(-1;0). [/mm]
Hab ich mich hier irgendwo verrechnet?
zu b)
[mm] Z(x;y;\lambda)=2x^2+y^2-\lambda(x-y^2+1)
[/mm]
[mm] Z_x=4x-\lambda=0
[/mm]
[mm] Z_y=2y+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] Z_\lambda=-x+y^2-1=0
[/mm]
Aus [mm] Z_x [/mm] folgt [mm] \lambda=4x
[/mm]
Aus [mm] Z_y [/mm] folgt [mm] \lambda=-1 [/mm] und damit [mm] x=-\frac{1}{4}
[/mm]
Aus [mm] Z_\lambda [/mm] folgt [mm] y=\pm\sqrt(x+1)=\pm\frac{\sqrt(3)}{2}
[/mm]
Extremwertkandidaten sind somit [mm] P_1(-\frac{1}{4};\frac{\sqrt(3)}{2}) [/mm] und [mm] P_2(-\frac{1}{4};-\frac{\sqrt(3)}{2})
[/mm]
Auch hier steht in der Lösung noch [mm] P_3(-1;0)...
[/mm]
Auch auf diese Lösung komme ich nicht! Hat jemand eine idee??
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Hallo Hejo,
> Bestimmen Sie nach der Multiplikatorenregel von Lagrange
> alle Punkte, die für die gegebenen Funktionen unter den
> jeweiligen Nebenbedingungen als Extremalpunkte in Frage
> kommen.
> [mm]a)z=x^2+y^2,[/mm] mit [mm](x-2)^2+y^2-9=0[/mm]
> b)z= [mm]2x^2+y^2,[/mm] mit [mm]x-y^2+1=0[/mm]
> Hi,
> zu a)
> [mm]Z(x;y;\lambda)=x^2+y^2-\lambda((x-2)^2+y^2-9)[/mm]
> [mm]Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0[/mm]
> [mm]Z_y=2y-\lambda2y=0[/mm]
> [mm]Z_\lambda=-((x-2)^2+y^2-9)=0=(x-2)^2+y^2-9=0[/mm]
>
> hier folgt aus der Gleichung [mm]Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0,[/mm] dass
> [mm]\lambda=\frac{2x}{2x-4}.[/mm] das ist nicht lösbar.
Setze dieses [mm]\lambda[/mm] in [mm]Z_{y}=0[/mm] ein.
Aus dieser Gleichung folgt die Lösung für eine Variable.
Setze diese Lösung in [mm]Z_{\lambda}=0[/mm] ein.
und ermittle den Wert der anderen Variablen.
> In der Lösung des Tutoriums stehen aber die Lösungen
> [mm]P_1(5;0)[/mm] und [mm]P_2(-1;0).[/mm]
>
> Hab ich mich hier irgendwo verrechnet?
>
> zu b)
> [mm]Z(x;y;\lambda)=2x^2+y^2-\lambda(x-y^2+1)[/mm]
> [mm]Z_x=4x-\lambda=0[/mm]
> [mm]Z_y=2y+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]Z_\lambda=-x+y^2-1=0[/mm]
>
> Aus [mm]Z_x[/mm] folgt [mm]\lambda=4x[/mm]
> Aus [mm]Z_y[/mm] folgt [mm]\lambda=-1[/mm] und damit [mm]x=-\frac{1}{4}[/mm]
> Aus [mm]Z_\lambda[/mm] folgt [mm]y=\pm\sqrt(x+1)=\pm\frac{\sqrt(3)}{2}[/mm]
>
> Extremwertkandidaten sind somit
> [mm]P_1(-\frac{1}{4};\frac{\sqrt(3)}{2})[/mm] und
> [mm]P_2(-\frac{1}{4};-\frac{\sqrt(3)}{2})[/mm]
>
> Auch hier steht in der Lösung noch [mm]P_3(-1;0)...[/mm]
>
> Auch auf diese Lösung komme ich nicht! Hat jemand eine
> idee??
Aus [mm]Z_{y}=0[/mm] folgen 2 Fälle:
i) [mm]\lambda+1=0[/mm]
ii) y=0
Der erste Fall ist schon behandelt worden,
bleibt noch der Fall ii).
Aus diesem folgt dann der Punkt [mm]P_{3}[/mm].
Gruss
MathePower
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