Extremwerte unter Nebenbed. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x,y,z) = x +2y + [mm] z^2
[/mm]
g(x,y,z) = [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1
Gesucht: Extremwerte |
Hallo nochmal,
habe hier noch eine weitere Aufgabe,
hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
[mm] grad_{f} [/mm] = [mm] \lambda \* grad_{h}
[/mm]
I 1 = [mm] 4\lambda [/mm] x
II 2 = [mm] 2\lambda [/mm] x
III 2z = [mm] 2\lambda [/mm] z
I [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] x
II 1 = [mm] \lambda [/mm] y
III z = [mm] \lambda [/mm] z
Wie es jetzt weiter geht bin ich mir nicht ganz sicher.
Ich habe mir zunächst die dritte Zeile geschnappt:
Für z [mm] \not=0 \Rightarrow \lambda [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{1}{4} \Rightarrow [/mm] y = 1
Wenn ich dies aber in mein g einsetze um z zu bestimmen kriege ich eine negative wurzel raus. Vermute aber dies ist falsch.
Könnt ihr mir bitte sagen ob mein Gedankengang richtig ist?
Danke,
steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 12.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Steffi,
Noch ist ja nichts Schlimmes passiert; für z [mm] \not= [/mm] 0 gibt es offenbar keine (reelle) Lösung des Gleichungssystems. Aber Dir bleibt ja noch der Fall z = 0.
Also aus I und II [mm] \lambda [/mm] eleminieren, das liefert einen Zusammenhang von x und y und dann damit in die Nebenbedingung rein.
Genereller Tipp: Schreibe die Nebenbedingung ruhig als weitere Gleichung (hier IV) mit zu den anderen, dann vergisst man sie auch nicht.
Gruß
Uli
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HAllo nochmal,
ich stehe irgendwie auf dem Schlauch.
Wenn wir z = 0 nehmen und ich dies in III einsetze erhalte ich
0 = [mm] \lambda \* [/mm] 0
0 = 0
:(
Gruß und danke,
steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 So 12.10.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
aus der dritten Gleichung bekommst Du keine weiteren Informationen. Nimm Gleichung I + II und leite den Zusammenhang zwischen x und y ab. Danach alles in die Nebenbedingung einsetzen und lösen. Für z weisst Du ja schon die Lösung z=0.
mfg ullim
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Tut mir leid aber ich komme immer noch nicht weiter :(
Ich versthe nicht, warum wir nun z = 0 wählen.
Wenn ich aber versuche was mit I anzufangen bekomme ich raus:
[mm] \bruch{1}{4\*\lambda} [/mm] = x
oder
[mm] \bruch{1}{4\*x} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Sorry :(
Lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 So 12.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Steffi,
wenn Du jetzt die II nimmst und dort ebenfalls nach [mm] \lambda [/mm] auflöst, dann kannst Du gleichsetzen und hast eine Beziehung zwischen x und y mit der Du dann in die Nebenbedingung einsteigen kannst (erinnere Dich, auf der Schule hat man - hoffentlich - 3 Lösungswege zum Lösen von Gleichungen mit mehreren Unbekannten vermittelt bekommen: Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren...).
Und zu Deiner Frage mit dem z: Du machst bei der Betrachtung der III. Gleichung letztlich eine Fallunterscheidung, nämlich z [mm] \not= [/mm] 0 und z = 0 und jetzt behandelst Du den 2. Fall.
Gruß
Uli
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Also wenn ich I und II nach [mm] \lambda [/mm] auflöse und gleichsetze erhalte ich zunächst
[mm] \bruch{1}{4\*x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = 4x bzw. x = [mm] \bruch{y}{4}
[/mm]
Wenn ich nun x = [mm] \bruch{y}{4} [/mm] in die Nebenbed. einsetze erhalte ich
2* [mm] \bruch{y^2}{4} [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 0 = 1
Das nun nach y aufgelöst ergibt mir
y = [mm] \pm \bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
Soweit korrekt ?
Bin nur ein wenig verwirrt weil ich gerade in die Lösung von unserem Tutor schaue und hier steht:
[mm] (\bruch{\wurzel{8}}{12},\bruch{\wurzel{8}}{3},0)
[/mm]
(- [mm] \bruch{\wurzel{8}}{12}, [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{8}}{3},0)
[/mm]
und der hat ja nichtmal meine erste Lösung aus [mm] \IC. [/mm] :(
Gruß und danke Euch
steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 So 12.10.2008 | | Autor: | ullim |
> Also wenn ich I und II nach [mm]\lambda[/mm] auflöse und gleichsetze
> erhalte ich zunächst
>
> [mm]\bruch{1}{4\*x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = 4x bzw. x = [mm]\bruch{y}{4}[/mm]
> Wenn ich nun x = [mm]\bruch{y}{4}[/mm] in die Nebenbed. einsetze
> erhalte ich
> 2* [mm]\bruch{y^2}{4}[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 0 = 1
Ich denke das es hier lauten müsste
[mm] 2*\left( \bruch{y}{4} \right){^2}+y^2+0=1
[/mm]
dann kommst Du auch auf die Lösung von deinem Tutor
> Das nun nach y aufgelöst ergibt mir
> y = [mm]\pm \bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> Soweit korrekt ?
>
> Bin nur ein wenig verwirrt weil ich gerade in die Lösung
> von unserem Tutor schaue und hier steht:
>
> [mm](\bruch{\wurzel{8}}{12},\bruch{\wurzel{8}}{3},0)[/mm]
> (- [mm]\bruch{\wurzel{8}}{12},[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{8}}{3},0)[/mm]
>
> und der hat ja nichtmal meine erste Lösung aus [mm]\IC.[/mm] :(
>
>
> Gruß und danke Euch
> steffi
mfg ullim
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| Aufgabe 1 | f(x,y,z) = x +2y + [mm]z^2[/mm]
g(x,y,z) = [mm]2x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1
Gesucht: Extremwerte |
Hallo Steffi,
zusammen mit dem Diskussionsthema "Extremwerte unter Nebenbed."
gelingt es einem, die Aufgabe richtig zu interpretieren.
Als Mathe-Studentin solltest du aber auch an Aufgabenstellungen
etwas höhere Ansprüche bezüglich Verständlichkeit setzen.
Wie wäre es mit:
| Aufgabe 2 | f(x,y,z) = x +2y + [mm] z^2
[/mm]
g(x,y,z) = [mm]2x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm]
Gesucht: Extremwerte von f(x,y,z) unter der Nebenbedingung g(x,y,z)=1 |
Zum Studium im übrigen viel Erfolg ! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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