Extremwerte mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Gaertner hat eine Schnur von 10m Laenge mit der er sein Gemuesebeet eingraenzen will. Leider ha er dafuer nur 3 Eckpfosten zur Verfuegung. Wie muss er die Pfosten verteilen, so dass die um sie herum gespannte Schnur eine maximale Flaeche eingrenzt?
Hinweis: der Flaecheninhalt $A$ eines Dreiecks mit den Seitenlaengen $a,b$ und $c$ is durch $A= [mm] \frac{1}{4}\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$ [/mm] |
Hallo,
haenge mal wieder an einer Extremwertaufgabe. Meine Zielfunktion sieht dann so aus:
$ F(a,b,c) = [mm] \frac{1}{4}\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} [/mm] + [mm] \lambda(a+b+c-10)$ [/mm]
Dazu die partiellen Ableitungen:
[mm] $\frac{\partial F}{\partial a} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \frac{2(a^2+b^2+c^2)2a - 8a^3}{2\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}} [/mm] + [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial F}{\partial a} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \frac{2(a^2+b^2+c^2)2b - 8b^3}{2\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}} [/mm] + [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial F}{\partial a} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \frac{2(a^2+b^2+c^2)2c - 8c^3}{2\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}} [/mm] + [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial F}{\partial \lambda} [/mm] = a+b+c$
Nun komm ich allerdings beim Aufloesen des GLS auf keinen gruenen Zweig. Habe ich bei den Ableitungen schon einen Fehler drin? Die kommen mir eh schon recht schwer vor fuer das GLS.
Gruss und Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Statt
$ A= [mm] \frac{1}{4}\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} [/mm] $
zu maximieren, kannst Du auch
[mm] (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)
[/mm]
maximieren
FRED
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> Tipp:
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> Statt
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> [mm]A= \frac{1}{4}\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}[/mm]
>
> zu maximieren, kannst Du auch
>
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> [mm](a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)[/mm]
>
> maximieren
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>
> FRED
Hi, kannst du mir noch sagen warum? Muss ich das spaeter wieder "Rueckgaengig" machen?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Tipp:
> >
> >
> > Statt
> >
> > [mm]A= \frac{1}{4}\wurzel{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}[/mm]
> >
> > zu maximieren, kannst Du auch
> >
> >
> > [mm](a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)[/mm]
> >
> > maximieren
> >
> >
> >
> > FRED
>
> Hi, kannst du mir noch sagen warum?
Nimm an, f sei eine nichtnegative Funktion, deren Maximum Du bestimmen sollst. Dann gilt:
f hat in [mm] x_0 [/mm] ein Maximum [mm] \gdw f^2 [/mm] hat in [mm] x_0 [/mm] ein Maximum
> Muss ich das spaeter
> wieder "Rueckgaengig" machen?
Nein
FRED
>
> Gruss
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