Extremwerte(mehrere Variablen) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 01.08.2005 | | Autor: | stowoda |
Hallo!
Habe hier folgende Aufgabe:
Wo nimmt die Funktion f(x,y)=y²-x³ ihre Max. und Min- Werte auf dem Rechteck 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 , 1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3 ein?
Ich habe versucht, mit Hilfe der Hesse Matrix, Punkte herauszufinden die in Frage kämen. Allerdings sieht es so aus als ob im Inneren keine Extremwerte vorhanden wären.
Es gibt doch eine möglichkeit den Lagrange' schen Multiplikator zu verwenden.. Ich weiss jedoch nicht wie das genau funktioniert, bzw. wie meine Nebenbedingung lautet.
Wäre dankbar wenn mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte.
Gruss
stowoda
|
|
| |
|
Hallo stowoda,
ich würde folgendermaßen vorgehen:
1) das innere des gebiets auf kritische punkte [mm] $\nabla [/mm] f=0$ testen. (was du ja schon getan hast)
2)die funktion getrennt davon auf dem rand betrachten, d.h. zum Beispiel
[mm] $f(x,1)=1-x^3$ [/mm] für $1< x< 2$.
Das wäre also die Funktion auf einem der 4 seitenränder des rechtecks. im grunde mußt du jetzt für die vier seiten extremwerte berechnen, und dann eventuell noch die funktionswerte in den ecken. ist zwar ein bißchen aufwändig, aber am ende solltest du deine extremwerte haben.
ob man eventuell auch ein modifiziertes lagrange-verfahren anwenden kann, ist mir jetzt nicht bekannt. normalerweise funktioniert dieses mit nebenbedingungen in gleichungsform, d.h. man schränkt die funktion auf mannigfaltigkeiten (also zB flächen) niedrigerer dimension ein.
Viele Grüße
Matthias
|
|
|
|
