Extremwerte einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Do 04.07.2013 | | Autor: | kais92 |
| Aufgabe | Berechne die Extremwerte:
[mm] z=\bruch{xy}{27}+\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y} [/mm] |
Ich komm bei dieser Aufgabe auf die partiellen Ableitungen.
Jedoch komme ich dann nicht weiter. Mit der Hesse-Matrix kenne ich mich leider auch nicht gut aus.
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> Berechne die Extremwerte:
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> [mm]z=\bruch{xy}{27}+\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}[/mm]
> Ich komm bei dieser Aufgabe auf die partiellen
> Ableitungen.
Sehr gut dann poste diese doch mal.
> Jedoch komme ich dann nicht weiter. Mit der Hesse-Matrix
> kenne ich mich leider auch nicht gut aus.
Sehen wir uns mal die partiellen Ableitungen an - nachdem du vermutlich die Extrema auf einer offenen Menge untersuchst ist es hinreichend:
Partielle Ableitungen = 0 setzen und das GLS lösen. Die resultierenden Punkte dann auf Min, Max durch die Hesse Matrix untersuchen.
Gruß Thomas
Ps: Die Hesse Matrix enthält die partiellen Ableitungen 2.ter Ordnung und gibt durch ihr Definitheitsverhalten Auskunft über Minimum oder Maximum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 04.07.2013 | | Autor: | kais92 |
z(nach x) [mm] =\bruch{-1}{x^2}+\bruch{y}{27}
[/mm]
daraus ergibt sich x =Wurzel von [mm] \bruch{27}{y}
[/mm]
z(nach y) = [mm] \bruch{1}{y^2}+ \bruch{x}{27}
[/mm]
7(nach x und y) [mm] =\bruch{1}{27}
[/mm]
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> z(nach x) [mm]=\bruch{-1}{x^2}+\bruch{y}{27}[/mm]
ja
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> daraus ergibt sich x =Wurzel von [mm]\bruch{27}{y}[/mm]
ja
>
>
> z(nach y) = [mm]\bruch{1}{y^2}+ \bruch{x}{27}[/mm]
>
ja
> 7(nach x und y) [mm]=\bruch{1}{27}[/mm]
ja aber derweil eher unnötig.
Also du betrachtest:
[mm] f(x,y) = \frac{xy}{27}+\frac{1}{x}-\frac{1}{y}[/mm]
ok es folgt:
[mm] \frac{df}{dx} = \frac{y}{27}-\frac{1}{x^2}[/mm]
[mm] \frac{df}{dy} = \frac{x}{27}+\frac{1}{y^2}[/mm]
Gut und nun löse dieses GLS:
[mm] \frac{df}{dx} = \frac{y}{27}-\frac{1}{x^2}=0[/mm]
[mm] \frac{df}{dy} = \frac{x}{27}+\frac{1}{y^2}=0[/mm]
Gruß
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 04.07.2013 | | Autor: | kais92 |
x und y sind gleich 3
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> x und y sind gleich 3
fast: x sollte -3 sein.
Na bitte das ist dein Extremum. Nun untersuche ob min od max.
Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 04.07.2013 | | Autor: | kais92 |
Und wie mach ich das?
Mit der Hesse-Matrix beschäftige ich mich leider erst seit heute.
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Du bildest die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung und setzt dann, in die resultierende Matrix, deinen Punkt, welchen du prüfen willst, ein.
Dann hast du eine 2x2 Matrix - von dieser bestimmst du das Definitheitsverhalten.
Lg
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Fr 05.07.2013 | | Autor: | kais92 |
Ok, danke.
Heisst das jetzt, dass es nur einen Extremwert (minimum) gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:04 Fr 05.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke.
> Heisst das jetzt, dass es nur einen Extremwert (minimum)
> gibt?
Ja
FRED
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