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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Do 02.06.2005 | | Autor: | Phobos |
Hallo. Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Es sei [mm] a_k \in \IR^n [/mm] und g: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei definiert durch g(x) = [mm] \summe_{k=1}^{p} \parallel x-a_k\parallel^2 [/mm] , wobei [mm] \parallel *\parallel [/mm] die euklidische Norm bezeichne. Zeigen sie, daß g ein globales Minimum besitzt und berechnen sie die Stelle, an der es angenommen wird.
Klingt ja eigentlich nicht so kompliziert. Ich dachte ich leite mal fröhlich ab und schau nach wo die Ableitung null ist:
g'(x) = [mm] \summe_{k=1}^{p} 2\parallel x-a_k\parallel
[/mm]
Tja. Wird leider nirgendwo null. Wo ist mein denkfehler? Kann ich das vielleicht nicht so ableiten?
Und gilt [mm] \summe_{k=1}^{p} \parallel x-a_k\parallel^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{p} \summe_{i=1}^{n} |x_i-a_k_i|^2 [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 Fr 03.06.2005 | | Autor: | RePete |
Hallo Phobos,
wenn ich mich recht entsinne muß ein globales Minimum nicht unbedingt eine lokales Minimum sein. Globales Minimum bezeichnet nur den kleinsten Funktionswert den eine Funktion in einem Intervall oder auch in ihrem Definitionsbereich besitzt. Vielleicht solltest du da nochmal ansetzen. Mit einer konkreten Lösung kann ich dir heute Abend leider auch nicht weiter helfen. Aber vielleicht hab ich am Wochenende nochmal Zeit...
mfG Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Phobos |
Hm. Gute Idee. Wie bei f(x)=|x|. Hat ja auch kein Minimum in (0,0), aber trotzdem den kleinsten Funktionswert.
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Hallo!
Du solltest benutzen, das [mm] $\bruch{\partial}{\partial x_j}\summe_{k=1}^p \|x-a_k\|^2=2\summe_{k=1}^p(x_j-a_{kj})$ [/mm] ist...
Als Ableitung bekommst du keine Funktion von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] sondern eine Funktion von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^n$. [/mm] Anders ausgedrückt: Deine gesuchte Ableitung ist ein Vektor...
Gruß, banachella
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