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| Aufgabe | Gesucht sind die Extremwerte der Funktion [mm] f(x,y,z)=x^{2}+xy+z^{2} [/mm]
unter den beiden Nebenbedingungen x+y+z=10 und x=2y. |
Hallo und guten Abend,
brauche für o.g. Aufgabe einen Tipp(s). Ich weiss nicht so richtig wie ich mit den 2 Nebenbedingungen verfahren soll (für eine NB ist mir das klar). Zusammenfassen bzw. ineinander einsetzen kann ich diese ja nicht, also x=2y in x+y+z=10 an Stelle von x?
O.K., Extremwerte für Funktionen von mehreren Variablen mit Nebenbedingungen.
Ansatz mit LAGRANGE-Multiplikatoren. Hier -> [mm] f(x,y,z)=x^{2}+xy+z^{2}+\partial(x+y+z-10)+\lambda_{2}(x-2y)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] => [mm] 2x+y+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] => [mm] x+\lambda_{1}-2\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] => [mm] 2z+\lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \lambda_{1}} [/mm] => x+y+z-10=0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \lambda_{2}} [/mm] => x-2y=0
Tja und nun? Nach den [mm] \lambda's [/mm] bzw. einzelnen Variablen auflösen? Erscheint mir etwas umfangreich bzw. schwierig.
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Hallo Hoffmann79,
> Gesucht sind die Extremwerte der Funktion
> [mm]f(x,y,z)=x^{2}+xy+z^{2}[/mm]
>
> unter den beiden Nebenbedingungen x+y+z=10 und x=2y.
> Hallo und guten Abend,
>
> brauche für o.g. Aufgabe ein(en) Tipp(s). Ich weiss nicht
> so richtig wie ich mit den 2 Nebenbedingungen verfahren
> soll (für eine NB ist mir das klar). Zusammenfassen bzw.
> ineinander einsetzen kann ich diese ja nicht, also x=2y in
> x+y+z=10 an Stelle von x?
>
> O.K., Extremwerte für Funktionen von mehreren Variablen
> mit Nebenbedingungen.
>
> Ansatz mit LAGRANGE-Multiplikatoren. Hier ->
> [mm]f(x,y,z)=x^{2}+xy+z^{2}+\partial(x+y+z-10)+\lambda_{2}(x-2y)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] =>
> [mm]2x+y+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] =>
> [mm]x+\lambda_{1}-2\lambda_{2}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}[/mm] => [mm]2z+\lambda_{1}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial \lambda_{1}}[/mm] => x+y+z-10=0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial \lambda_{2}}[/mm] => x-2y=0
>
> Tja und nun? Nach den [mm]\lambda's[/mm] bzw. einzelnen Variablen
> auflösen? Erscheint mir etwas umfangreich bzw. schwierig.
Das ist aber der einzig richtige Weg.
Eliminiere aus den letzten 2 Gleichungen z und x,
setze dies in die ersten beiden Gleichungen ein.
und bestimme [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm].
Vergleiche dann dieses [mm]\lambda_{1}[/mm] mit dem
[mm]\lambda_{1}[/mm], das Du aus der 3. Gleichung erhältst.
Daraus erhältst Du dann einen Wert für y.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
ich komme mit der Elimination nicht klar.
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial \lambda_{1}} [/mm] $ => x+y+z-10=0
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial \lambda_{2}} [/mm] $ => x-2y=0
Soll ich die beiden Gleichungen gleichsetzen oder nach x bzw. z umstellen?
Mein Versuch bisher -> die letzte Gleichung nach x umgestellt -> x=2y ,
die 3. Gleichung nach [mm] \lambda_{1} [/mm] aufgelöst -> [mm] \lambda_{1}=-2z. [/mm] Das führt aber zu keinem Ergebnis.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Di 26.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial \lambda_{1}}[/mm] => x+y+z-10=0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial \lambda_{2}}[/mm] => x-2y=0
>
> Mein Versuch bisher -> die letzte Gleichung nach x
> umgestellt -> x=2y ,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Setze nun dies in die andere(n) Gleichung(en) ein.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Mit LAGRANGE-Multiplikatoren schiesst man doch bei dieser Aufgabe mit Kanonen auf Spatzen !
Es ist $ y= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] $ und $z= 10-x-y= [mm] 10-\bruch{3}{2}x$.
[/mm]
Setzt man
$g(x):= f(x, [mm] \bruch{1}{2}x, 10-\bruch{3}{2}x)$,
[/mm]
so ist g von der Form $g(x) [mm] =ax^2+bx+c$ [/mm] und das Problem reduziert sich, auf die Bestimmung des Scheitelpunktes einer Parabel
FRED
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Hallo fred97,
ein interessanter Ansatz, den ich so nie gesehen habe. Hab jetzt aber noch Fragen zur Ausführung.
[mm] f(x;\bruch{1}{2}x;10-\bruch{3}{2}x)=x^{2}+\bruch{1}{2}x^{2}+(10-\bruch{3}{2}x)^{2} [/mm] -> [mm] \bruch{15}{4}x^{2}-30x+100 [/mm] -> [mm] x^{2}-8x+\bruch{80}{3}
[/mm]
Scheitelpunktansatz -> [mm] x^{2}-8x+16-16+\bruch{80}{3} [/mm] -> [mm] (x-4)^{2}+\bruch{32}{3} [/mm] -> x=4 , [mm] y=\bruch{32}{3}
[/mm]
Irgendwo scheint da ein Rechen(Denk)fehler zu sein.
Diese Ergebnisse müsste ich jetzt in die Ausgangsfunktion einsetzen, um z zu bestimmen?
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> Hallo fred97,
>
> ein interessanter Ansatz, den ich so nie gesehen habe. Hab
> jetzt aber noch Fragen zur Ausführung.
Hallo,
das hast Du bestimmt in der Schule auch schon gemacht, nämlich bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen. ("Man hat 400m Zaun zum Einzäunen eines rechteckigen Wiesenstückes, für welche Maße wird die eingezäunte Fläche maximal?")
>
> [mm]f(x;\bruch{1}{2}x;10-\bruch{3}{2}x)=x^{2}+\bruch{1}{2}x^{2}+(10-\bruch{3}{2}x)^{2}[/mm]
> -> [mm]\bruch{15}{4}x^{2}-30x+100[/mm] -> [mm]x^{2}-8x+\bruch{80}{3}[/mm]
>
> Scheitelpunktansatz -> [mm]x^{2}-8x+16-16+\bruch{80}{3}[/mm] ->
> [mm](x-4)^{2}+\bruch{32}{3}[/mm] -> x=4 , [mm]y=\bruch{32}{3}[/mm]
Was sollen denn diese neckischen Pfeilchen bedeuten?
Setze einfach ein langweiliges Gleichheitszeichen, wenn etwas gleich ist,
einen Folgepfeil, wenn eine Aussage aus einer anderen folgt.
Setze kein Gleichheitszeichen, wenn Dinge nicht gleich sein,
und verbinde nicht irgendwelche Terme durch Folgepfeile. (Was sollte das auch bedeuten?)
Du meinst bei wohlwollender Betrachtung im Grunde Deines Herzens in etwa dies:
"[mm]f(x;\bruch{1}{2}x;10-\bruch{3}{2}x)=x^{2}+\bruch{1}{2}x^{2}+(10-\bruch{3}{2}x)^{2}[/mm] =[mm]\bruch{15}{4}x^{2}-30x+100[/mm] [mm] =\bruch{15}{4}*([/mm] [mm]x^{2}-8x+\bruch{80}{3}[/mm]).
Der Scheitelpunkt von f(x) liegt an derselben Stelle wie der von [mm] g(x):=$x^{2}-8x+\bruch{80}{3}$=(x-4)^2+\bruch{32}{3}.
[/mm]
g hat den Scheitelpunkt bei x=4, und der zugehörige Funktionswert ist [mm] g(4)=\bruch{32}{3}"
[/mm]
>
> Irgendwo scheint da ein Rechen(Denk)fehler zu sein.
> Diese Ergebnisse müsste ich jetzt in die Ausgangsfunktion
> einsetzen, um z zu bestimmen?
>
>
Der ist nun ist nun aufgespürt.
Er ist u.a. auch eine Folge des schlampigen Aufschriebs.
Du weißt jetzt, daß f und g bei x=4 einen Scheitelpunkt haben, aber dieses [mm] \bruch{32}{3} [/mm] ist keinesfalls das y, sondern der Funktionswert von g an der Stelle 4.
Dieser Funktionswert ist auch nicht derselbe wie der von f,
denn es ist ja [mm] f=\bruch{15}{4}*g, [/mm] also ist [mm] f(4)=\bruch{15}{4}*g(4)= [/mm] ...
Jedenfalls hat die Funktion [mm] $f(x)=x^{2}+\bruch{1}{2}x^{2}+(10-\bruch{3}{2}x)^{2}$ [/mm] bei x=4 ihren Scheitelpunkt,
und
Du hattest doch [mm] y=\bruch{1}{2}x=..., [/mm] z=10-x-y=...,
womit Du die Stelle des Minimums von
$ [mm] f(x,y,z)=x^{2}+xy+z^{2} [/mm] $
errechnet hast.
Den zugehörigen Funktionswert f(x,y,z) hast Du oben schon errechnet oder wirst dies tun,
Du kannst ihn nun aber auch durch Einsetzen bekommen.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal an alle Beteiligten und danke für die bisherigen Ausführungen,
ich bin die Aufgabe jetzt nochmal nach einem etwas anderen Ansatz angegangen:
[mm] f(x,y,z)=x^{2}+xy+z^{2} [/mm] , [mm] NB_{1}: [/mm] x+y+z=10 , [mm] NB_{2}: [/mm] x=2y
[mm] NB_{2}: [/mm] x=2y in [mm] NB_{1} [/mm] eingesetzt und nach z aufgelöst ergibt z=10-3y, diese beiden Nebenbedingungen in die Ausgangsfunktion eingesetzt und zusammengefasst ergibt dann
[mm] f(x,y,z)=15y^{2}-60y+100, [/mm] eine Funktion die nur noch von einer Variable y abhängt, also
[mm] f(y)=15y^{2}-60y+100
[/mm]
Diese Funktion habe ich auf Extremwerte untersucht.
f'(y)=30y-60 -> y=2
f''(y)=30 > 0 -> Min
y=2 in [mm] NB_{1} [/mm] und [mm] NB_{2} [/mm] eingesetzt ergibt x=4, z=4
Zu guter letzt noch diese Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt.
f(4,2,4)=40 -> Minimum an der Stelle (4,2,4) mit dem Wert [mm] f_{min}=40
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles korrekt
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Vielen Dank an alle 
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