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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwerte
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Extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Mo 25.05.2009
Autor: mathestuden

Aufgabe
Zu bestimmen die relativen und absoluten Extrema der Funktion[mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm] im Bereich [mm] x^2+y^2\le4[/mm].

Folgendes habe ich bisher gerechnet:

[mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm]

<=> [mm]f(x,y)=3x-3xy^2-x^3[/mm]

=> [mm] Dxf=3-3y^2-3x^2[/mm] und [mm]Dyf=-6xy[/mm]

=> [mm]\begin{pmatrix} 3-3y^2-3x^2 \\ -6xy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]

<=> [mm]\begin{pmatrix} x^2+y^2 \\ xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]

Danach habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.

Fall 1:

Wenn x=0

=> y=1
Fall 2:

Wenn y=0

=> x=1

Dann waere der 1.Fall ein relatives Extremum und der 2.Fall ein absolutes, weil ||f(1,0)||=2>||f(0,1)||=0

Ist meine Idee richtig?

Gruss

mathestudent


        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Mo 25.05.2009
Autor: fred97


> Zu bestimmen die relativen und absoluten Extrema der
> Funktion[mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm] im Bereich [mm]x^2+y^2\le4[/mm].
>  Folgendes habe ich bisher gerechnet:
>  
> [mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm]
>  
> <=> [mm]f(x,y)=3x-3xy^2-x^3[/mm]
>  
> => [mm]Dxf=3-3y^2-3x^2[/mm] und [mm]Dyf=-6xy[/mm]
>
> => [mm]\begin{pmatrix} 3-3y^2-3x^2 \\ -6xy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>  
> <=> [mm]\begin{pmatrix} x^2+y^2 \\ xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Danach habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.
>  
> Fall 1:
>  
> Wenn x=0
>  
> => y=1

Nein, es folgt: $y = [mm] \pm [/mm] 1$




>  Fall 2:
>  
> Wenn y=0
>  
> => x=1



Nein, es folgt: $x = [mm] \pm [/mm] 1$

>  
> Dann waere der 1.Fall ein relatives Extremum und der 2.Fall
> ein absolutes, weil ||f(1,0)||=2>||f(0,1)||=0
>  
> Ist meine Idee richtig?



Nein, was sollen oben die Normstriche ?????


Tipp: Hessematrix

FRED

>  
> Gruss
>  
> mathestudent
>  


Bezug
                
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Mo 25.05.2009
Autor: mathestuden

Also ich schaetze, dass das plusminus wegen dem wurzelziehen kommt und wichtig ist um deine Hesse Matrix aufzuspannen. Ist die Hessematrix die approximierte lineare Abbildung von f(x,y) und wie unterscheide ich dann, ob das Extremum lokal oder relativ ist?

Gruss

mathestudent

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Mo 25.05.2009
Autor: fred97


> Also ich schaetze, dass das plusminus wegen dem
> wurzelziehen kommt

Ja


> und wichtig ist um deine Hesse Matrix


die gehört nicht mir  ....

>

> aufzuspannen. Ist die Hessematrix die approximierte lineare
> Abbildung von f(x,y)?


Nein. Den Begriff Hessematrix hattet Ihr sicher. Schau noch mal nach

FRED

Bezug
                                
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:40 Di 26.05.2009
Autor: mathestuden

Also ich habe mal in meinem Skript geschaut. Dort ist mit keinem Wort die Hesse-Matrix erwähnt (also nur indirekt). Aber ich habe mal bei Wikipedia geschaut unter dem besagten Stichwort. Muss ich die Determinante für die Matrix als hinreichendes Kriterium nehmen oder die Eigenwerte? Muss ich ableiten bis ich 0 heraus bekomme? Inwiefern muss ich meine Fallunterscheidung einbringen? Mir ist das Verfahren nicht ganz klar.

Bezug
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