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| Aufgabe | An welchen Stellen besitzt die Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] lokale oder globale Extrema bzw. Sattelpunkte?
f(x,y)=sinxsinysin(x+y) D = {(x,y) | 0 [mm] \le [/mm] x, 0 [mm] \le [/mm] y, x+y [mm] \le \pi} [/mm] |
Hallo,
hänge schon seit einer halben Ewigkeit bei der Aufgabe, weil ich nach der Ableitung nicht weiterkomme. Finde die Nullstellen der Ableitung nicht.
Habe für fx = siny(cosxsin(x+y)+sinxcos(x+y))
und für fy = sinx(cosysin(x+y)+sinycos(x+y))
Habe schon einige umwandlungen durchgeführt, aber dadurch wurde es eigentlich nur schlimmer.
Sieht vielleicht einer sinnvolle Umwandlungen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thorsteen,
> An welchen Stellen besitzt die Funktion f: D [mm]\to \IR[/mm] lokale
> oder globale Extrema bzw. Sattelpunkte?
> $f(x,y)=sinxsinysin(x+y) D = [mm] \{(x,y) | 0 \le x, 0 \le y, x+y \le \pi\}$
[/mm]
> Hallo,
> hänge schon seit einer halben Ewigkeit bei der Aufgabe,
> weil ich nach der Ableitung nicht weiterkomme. Finde die
> Nullstellen der Ableitung nicht.
> Habe für fx = siny(cosxsin(x+y)+sinxcos(x+y)) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und für fy = sinx(cosysin(x+y)+sinycos(x+y))
> Habe schon einige umwandlungen durchgeführt, aber dadurch
> wurde es eigentlich nur schlimmer.
> Sieht vielleicht einer sinnvolle Umwandlungen?
Benutze doch, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn (mind.) einer der Faktoren 0 ist
Fange bei [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] an, das ist auf jeden Fall schonmal 0, wenn [mm] $\sin(y)=0$ [/mm] ist, also wenn $y=0$ oder [mm] $y=\pi$ [/mm] ist
Damit gehe in [mm] $f_y(x,y)=\sin(x)\cdot{}\left[\sin(y)\cdot{}\cos(x+y)+\cos(y)\cdot{}\sin(x+y)\right]$:
[/mm]
1.Fall: y=0
[mm] $f_y(x,0)=\sin(x)\cdot{}\left[\sin(0)\cdot{}\cos(x+0)+\cos(0)\cdot{}\sin(x+0)\right]=\sin^2(x)$
[/mm]
Also [mm] $\sin^2(x)=0\gdw \sin(x)=0\gdw x=0\vee x=\pi$
[/mm]
Denn [mm] $x+y\le\pi$ [/mm] nach Vor.
Damit hast du schonmal 2 stationäre Punkte $(x,y)=(0,0)$ und [mm] $(x,y)=(\pi,0)$
[/mm]
2.Fall: [mm] $y=\pi$
[/mm]
Dann muss $x=0$ sein, denn [mm] $x+y\le\pi$
[/mm]
Das ergibt den weiteren stationären Punkt [mm] $(x,y)=(0,\pi)$
[/mm]
Dann nimm dir [mm] $f_y(x,y)$ [/mm] her, wann ist das =0? Auf jeden Fall schonmal, wenn [mm] $\sin(x)=0$ [/mm] ist, also [mm] $x=0\vee x=\pi$
[/mm]
Damit dann in [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] rein ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Also die Lösung muss sein:
lokales (sogar globales)Maximum in [mm] (arctan(\wurzel{3}), arctan(\wurzel{3})), [/mm] lokale (sogar globale) Minima auf dem Rand von D mit Funktionswert 0.
Wie soll ich denn auf [mm] (arctan(\wurzel{3}), arctan(\wurzel{3})) [/mm] kommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Di 28.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also die Lösung muss sein:
> lokales (sogar globales)Maximum in [mm](arctan(\wurzel{3}), arctan(\wurzel{3})),[/mm]
> lokale (sogar globale) Minima auf dem Rand von D mit
> Funktionswert 0.
> Wie soll ich denn auf [mm](arctan(\wurzel{3}), arctan(\wurzel{3}))[/mm]
> kommen?
Wie wär's mit dem Additionstheorem:
[mm]\cos x \sin(x+y)+\sin x\cos(x+y) = \sin(2x+y) [/mm]
usw.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
super. Das Additionstheorem habe ich garnicht gesehen.
Dann habe ich also siny*sin(2x+y)=0 und sinx*sin(2y+x)=0.
Komme aber immernoch nicht auf [mm] (arctan(\wurzel{3}), arctan(\wurzel{3})).
[/mm]
Hab das oben nochmal zu [mm] \bruch{1}{2}(cos(y-(2x+y))-cos(y+2x+y))=0 [/mm] <=> [mm] \bruch{1}{2}(cos(-2x)-cos(2(x+y)))=0 [/mm] und
[mm] \bruch{1}{2}(cos(-2y)-cos(2(x+y)))=0 [/mm] umgeformt aber sehe einfach nicht wie ich auf den arctan komme.
Ich bitte um weitere Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Mi 29.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dann habe ich also siny*sin(2x+y)=0 und sinx*sin(2y+x)=0.
> Komme aber immernoch nicht auf [mm](arctan(\wurzel{3}), arctan(\wurzel{3})).[/mm]
Dir ist schon klar, dass [mm] $\arctan \sqrt{3} [/mm] = [mm] \pi/3$?
[/mm]
> Hab das oben nochmal zu
> [mm]\bruch{1}{2}(cos(y-(2x+y))-cos(y+2x+y))=0[/mm] <=>
> [mm]\bruch{1}{2}(cos(-2x)-cos(2(x+y)))=0[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{2}(cos(-2y)-cos(2(x+y)))=0[/mm] umgeformt aber sehe
> einfach nicht wie ich auf den arctan komme.
Was die Umformung bringt, sehe ich auch nicht. Benutze doch direkt die beiden Gleichungen!
Aus der ersten folgt: $y=0$ oder [mm] $y=\pi$ [/mm] oder $2x+y=0$ oder [mm] $2x+y=\pi$ [/mm] oder [mm] $2x+y=2\pi$.
[/mm]
Aus der zweiten: $x=0$ oder [mm] $x=\pi$ [/mm] oder $2y+x=0$ oder [mm] $2y+x=\pi$ [/mm] oder [mm] $2y+x=2\pi$.
[/mm]
Andere Möglichkeiten gibt es wegen [mm] $0\le [/mm] x,y$, [mm] $x+y\le\pi$ [/mm] nicht.
Viele Grüße
Rainer
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