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Danke an dich, ich habe wohl wirklich die Aufgabe vergessen,w ie dumm von mir...
Also: AUFGABE:
Aus einem rechteckigen Stück Pappe von 42cm Länge und 30cm Breite soll eine oben offene Schachtel hergesttellt werden. Dazu wird an jeder der vier Ecken ein Quadrat abgeschnitten. Anschließend werden die obenstehenden Streifen hochgeklappt. Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen der Schachtel maximal wird?
Ich bin beim berechnen des Extremwertes gescheitert, da sich für mich mehrere Extremwerte ergeben, jedoch es nur eine maximale Seitenlänge der Quadrate geben kann.
Mein Lösungsweg:
[mm]V=h\*b\*t[/mm]
gegeben war die Breite mit b=42cm
und die Tiefe t=30cm
gesucht ist also die Höhe h=?
wobei die Tiefe [mm]h=a[/mm]
wobei [mm]a^{²}=A[/mm] also gleich dem Flächeninhalt eines Quadrates ist.
Und ich definiere a als die Kantenlänge des Bodens und c als die Tiefe des Bodens der Schachtel.
Wenn ich nun also als Hauptbedingung das Volumen und als Nebenbedingung den Flächeninhalt eines Quadrates ansetzte so ergibt sich...
[mm]V=a\*c\*h[/mm]
[mm]a=b-2\*h[/mm]
[mm]c=t-2\*h[/mm]
[mm]V=(b-2\*h)\*(t-2\*h)\*h[/mm]
Und ich denke nun beim Ausmultiplizieren und einsetzen ist mir ein Fehler unterlaufen...
[mm]V=4\*h^{4}-144\*h^{3}+1260*h^{2}[/mm]
[mm]V'=16h^{3}-432h^{2}+2520h[/mm]
[mm]V''=48h^{2}-864h+2520[/mm]
Wenn ich nun also die Nullstellen der ersten Ableitung bestimme komme ich auf 3 Extremwerte, da diese nun alle größer Null sind, sind dies Minima. Folglich ist irgendwo dort ein Fehler, bloß wo? Ich danke euch im Voraus für eure Hilfe.
Ps: Nein, diese Aufgabe steht alleinig in diesem Forum. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Ricardo,
das sieht ja alles ganz gut aus, nur wenn ich die Aufgabe nicht kenne, kann ich Dir trotzdem nicht sagen, ob's richtig oder falsch ist!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Pisquare |
Hallo. Ich hab jetzt mal von unten her angefangen nach einem Fehler zu suchen und ich schätze, du untersuchst diese Funktion auf Nullstellen:
$ [mm] V'=16h^{3}-432h^{2}+2520h [/mm] $
Dann kommt einmal h=0 raus, das kannst du durch ausklammern sehen, und dann kommt mit der Lösungsformel für quadratische gleichungen ein positiver und ein negativer Wert raus.
Hoffe das war hilfreich.
Gruß,
Bernd
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Also das h=0 habe ich auch gesehen wenn man h ausklammert,
[mm]V'=16h^{3}-432h^{2}+2520h[/mm] |/16
[mm]V'=h^{3}-27h^{2}+157.5h[/mm]
[mm]V'=h\left( h^{2}-27h+157.5 \right)[/mm]
[mm]V'=h^{2}-27h+157.5[/mm]
[mm]x_2,_1= 13.5\pm\wurzel{13.5{²}-157.5}[/mm]
jedoch ergibt sich hier für mich x1=18.47
und x2=8.53
Damit sind es doch 2 Extrempunkte und welcher ist nun der richtige?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Pisquare |
Sorry, hab die Wurzel vergessen zu ziehen, ... nein daran liegts tatsächlich nicht, tut mir leid, dann sehe ich da Problem im Moment nicht.
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Hallo,
wenn diese Werte x1 und x2 richtig berechnet sind, dann gibt es mehrere Extrema.
Wenn du jeweils x1 und x2 in die zweite Abteilung einsetzt, schaue ob das Ergebnis x1 oder x2 > 0 oder <0 oder =0 ist.
X> 0 bedeutet es ein Tiefpunkt
x< 0 bedeutet es ein Hochpunkt
x = 0 dann verbirgt sich dort ein sogenannter Sattelpunkt, der auch ein Wendpunkt sein kann.
Vergiss nicht Du hast aber 3 x-Werte ---> =3 Extremstellen. Und erst wenn Du diese x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzt und somit den jeweiligen y-Wert ermittelt hast, hast Du die Extrempunkte errechntet.
Enda
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Ok, danke Piet.
[mm]V=4h^{3}-144h^{2}+1260h[/mm]
Wenn ich also weiter gehe erhalte ich:
[mm]V'=12h^{2}-288h+1260[/mm]
[mm]V''=24h-288[/mm]
Um die Extremwerte, im speziellen das Maxima dieser Funktion zu erhalten muss ich doch die 1.Ableitung gleich null setzen!?
[mm]V'=12h^{2}-288h+1260[/mm]
[mm]0=h^{2}-24h+105[/mm]
[mm]x_e_1_2= 12 \pm \wurzel {12^{2}-105} ? [/mm]
[mm]x_e_1= 18.25 [/mm]
[mm]x_e_2= 5.75 [/mm]
Damit wäre ich bei der Frage welchen der beiden Extrempunkte ich nun nehmen soll als Seitenhöhe h?
Ahhh(während des Tippens) Einfall...
[mm]V''= 24h-288 x_e_1_2 einsetzen[/mm]
[mm]V''= 24\*18.25-288=150>0 \to Minimum [/mm]
[mm]V''= 24\*5.75-288=-150>0 \to Maximum [/mm]
Und da verbirgt sich die Lösung: Die Kante muss 5.75cm hoch sein....
Und das Quadrat demzufolge ein Fläche von 33.06 cm² betragen.
Wobei das maximale Volumen 3244.4375 cm³ beträgt.
Ich danke euch, es wär nur nett, wenn jemand meine Rechnung nochmal kontrollieren könnte, das Forum ist super, rechnet am besten mit einer vermehrten Anwesenheit meiner Person. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 18.01.2006 | | Autor: | piet.t |
...oder auch über V(18,75) = -652,... = Unfug (negatives Volumen).
Wenn man sich das ganze anschaulich überlegt ist auch klar, dass die Kantenlänge nie größer als 15cm werden kann, denn wird die rechteckige Schachtel ja ein Blatt mit Volumen 0.
Gruß
piet
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
soweit richtig
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
In deiner Volumenformel hast du drei Faktoren, in jedem steht das h höchstens in erster Potenz - da kann nie im Leben [mm] h^4 [/mm] rauskommen.
