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| Aufgabe | | Eine Zahl a>0 ist so in die Summe von den Summanden x,y,z aufzuspalten, dass das Produkt [mm] w=f(x,y,z)=xy^{2}z^{3} [/mm] maximal wird. Wie lautet das Maximum und für welche x,y,z wird es erreicht. (Hinweis: Lagrange'sche Methode) |
Sitz jetzt geschlagene 2h an der Aufgabe und find keinen Ansatz. Hab mir gedacht, das eventuell a=x+y+z als Nebenbedingung zu benutzen ist und dann mit Lagrange'schen Multiplikator das Gleichungssystem aufzustellen wäre. Da komm ich aber auf eine Gls, welches keine Lösungen liefert. Als zweites dachte ich mir, bestimm ich den Gradient von w und setz den dann Null und bestimm darüber das Maximum. funktionerte aber auch nicht, kam ich auf 0,0,0. Wenn mir einer einen Tipp geben, koennte wie man da rangeht, waere mir sehr geholfen.
Mit freundlichen Grüßen
Jens
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
du hast doch hier tatsächlich deine Nebenbedingung $x+y+z-a=0$
Jetzt suchst du das Maximum deiner Funktion $f=f(x,y,z)$ mit der o.g. Nebenbedingung.
D.h. jetzt setzt du an: [mm] $\Nabla f=\lambda \Nabla [/mm] g$ und jetzt [mm] $\lambda$ [/mm] eliminieren, dann die x, y, z suchen, für die die Bedingung gilt.
Zeig uns doch deine Rechnung, dann können wir dir noch besser weiterhelfen=)
LG
Kroni
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Also ich bin so vorgegangen:
[mm] f_{x}(x,y,z,\lambda)=y^{2}z^{3}+\lambda=0
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y,z,\lambda)=2xyz^{3}+\lambda=0
[/mm]
[mm] f_{z}(x,y,z,\lambda)=3xy^{2}z^{2}+\lambda=0
[/mm]
[mm] \varphi(x,y,z)=x+y+z-a=0
[/mm]
das hab ich dann in meinen Glasspad getippt, aber da kam nichts vernueftiges raus, ist das denn überhaupt der richtige Ansatz, so wie du das meintest? Wie soll ich dann hier das [mm] \lambda [/mm] beseitigen?
Herzlichen Dank fuer die schnelle Antwort.
Mit freundlichen Grüßen
Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das ist fast richtig. Du brauchst auf jeder Seite ein [mm] $-\lambda$, [/mm] weil du das [mm] $\lambda$ [/mm] von der rechten Seite auf die linke bringst.
Dann zB die erste Gleichung Minus die Zweite, dann bekommst du schonmal die [mm] $\lambda$ [/mm] weg. Dann vlt. noch zweite Minus dritte GLeichung, oder wie auch immer, dann hast du das ganze auf 2 Gleichungen reduziert.
Wenn du dann noch die Nebenbedingung x+y+z=a irgendwie einbaust (zB nach x auflösen, dann hast du x=a-y-z, was du dann in die beiden Gleichungen einsetzen kannst). Dann hast du zwei GLeichungen, zwei Unbekannte, weil du a ja kennst.
Damit solltest du weiterrechnen können.
LG
Kroni
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Morgen, ich nochmal,
bist du dir sicher das da ein Minus hin muss, denn Lagrangesche Multiplikationsmethode funktioniert doch so:
[mm] F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)
[/mm]
das heisst doch, das ich [mm] \varphi [/mm] jeweils nach x,y,z ableite und somit komm ich doch auf das Plus, wenn ich x+y+z-a=0 jeweils nach x,y,z ableite und dann mit [mm] \lambda [/mm] multipliziere. Im Endeffeckt ist bei der Aufgabe egal.
Bin jetzt mal weitergegegangen und komm dann auf zwei Gleichungen die so aussehen:
[mm] y^{2}z^{3}-2(a-y-z)yz^{3}=0
[/mm]
[mm] 2(a-y-z)yz^{3}-3(a-y-z)y^2z^2=0
[/mm]
das loest mir mein TR immer noch nicht. Ich sag das so, weil das eine Prüfungsaufgabe ist und unser Prof. meinte das wir Gleichungssysteme nicht mehr händisch loesen sollen, dazu fehlt einfach die Zeit.
Herzlichen Dank und mit freundlichen Gruessen
Jens
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> Morgen, ich nochmal,
> bist du dir sicher das da ein Minus hin muss, denn
> Lagrangesche Multiplikationsmethode funktioniert doch so:
> [mm]F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)[/mm]
> das heisst doch, das ich [mm]\varphi[/mm] jeweils nach x,y,z
> ableite und somit komm ich doch auf das Plus, wenn ich
> x+y+z-a=0 jeweils nach x,y,z ableite und dann mit [mm]\lambda[/mm]
> multipliziere.
Hallo,
das ist in Ordnung so, und das, was Kroni macht, ist auch in Ordnung.
Wenn jeder richtig rechnet, sind die kritischen Punkte, die am Ende herauskommen, gleich, und der Wert v. [mm] \lambda [/mm] interessiert nicht.
> Im Endeffeckt ist bei der Aufgabe egal.
> Bin jetzt mal weitergegegangen und komm dann auf zwei
> Gleichungen die so aussehen:
> [mm]y^{2}z^{3}-2(a-y-z)yz^{3}=0[/mm]
> [mm]2(a-y-z)yz^{3}-3(a-y-z)y^2z^2=0[/mm]
> das loest mir mein TR immer noch nicht. Ich sag das so,
> weil das eine Prüfungsaufgabe ist und unser Prof. meinte
> das wir Gleichungssysteme nicht mehr händisch loesen
> sollen, dazu fehlt einfach die Zeit.
Huch!
Was dein Taschenrechner kann, weiß ich nicht - meiner kann nicht viel. Schon gar nix mit "a".
Ich habe Deine Gleichungen oben nicht nachgerechnet, ich gehe einfach mal davon aus, daß sie stimmen.
Ich würde da jetzt erstmal ein bißchen ausklammern und bekomme
yz³(3y+2z-2a)=0
(a-y-z)yz²(z-3y)=0
Das kann man jetzt ja weiteruntersuchen, indem man schaut, wann die Faktoren =0 werden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Sa 12.07.2008 | | Autor: | dermoench |
Herzlichen Dank,
jetzt hab ich zwei Punkte bekommen.
Gruß
Jens
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