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Extremwertberechnung: Hilfe bei nachvollziebarkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:31 Mi 20.09.2006
Autor: Soldi01

Aufgabe
[mm]f(x)=\bruch{(x^2-2x+1)(x+3)}{x^2-4}[/mm]
Weisen Sie nach, das x=1 ein lokales Maximum der Funktion ist.

In der Musterlösung erhält der Prof.
[mm]f'(x)=(x-1)\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] soweit bin ich auch gekommen... doch der nächste Schritt ist mir nicht so ganz verständlich:
"Offenbar ist [mm]f'(1)=0[/mm]. Da mit [mm]g(x)=\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] gilt: [mm]g(1)=\bruch{-24}{9}<0 [/mm] ist [mm]g(x)<0[/mm] in einer Umgebung von 1 (Stetigkeit, zwischenwertsatz). Deshalb wechselt [mm]f'(x)=(x-1)g(x)[/mm] bei [mm]x=1[/mm] das Vorzeichen von + nach -     [mm] \to[/mm] [mm]x=1[/mm] ist lokales Maximum von [mm]f[/mm]"
So ich verstehe das der Punkt ein Maximum ist wenn die Ableitung der Funktion in der Umgebung von 1 von + nach - wechselt. Was ich aber nicht verstehe, wieso kann er einfach g(x) abspalten da 1 einsetzen  und das negative Ergebnis gibt mir dann sofort an das sich das
Vorzeichen ändert.....
Es wäre klasse wenn mir jemand das erklären könnte...

Bis denne dann

        
Bezug
Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:02 Mi 20.09.2006
Autor: MatthiasKr

Hi soldi,

was dein prof da macht, ist gar nicht so schwer... ;-)

> [mm]f(x)=\bruch{(x^2-2x+1)(x+3)}{x^2-4}[/mm]
> Weisen Sie nach, das x=1 ein lokales Maximum der Funktion
> ist.
>  In der Musterlösung erhält der Prof.
> [mm]f'(x)=(x-1)\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] soweit bin ich
> auch gekommen...

gut.

>doch der nächste Schritt ist mir nicht so

> ganz verständlich:
>  "Offenbar ist [mm]f'(1)=0[/mm]. Da mit
> [mm]g(x)=\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] gilt:
> [mm]g(1)=\bruch{-24}{9}<0[/mm] ist [mm]g(x)<0[/mm] in einer Umgebung von 1
> (Stetigkeit, zwischenwertsatz). Deshalb wechselt
> [mm]f'(x)=(x-1)g(x)[/mm] bei [mm]x=1[/mm] das Vorzeichen von + nach -     [mm]\to[/mm]
> [mm]x=1[/mm] ist lokales Maximum von [mm]f[/mm]"
>  So ich verstehe das der Punkt ein Maximum ist wenn die
> Ableitung der Funktion in der Umgebung von 1 von + nach -
> wechselt. Was ich aber nicht verstehe, wieso kann er
> einfach g(x) abspalten

wie er g(x) abspaltet hattest du doch eigentlich verstanden, oder? (s.o.)


> da 1 einsetzen  und das negative
> Ergebnis gibt mir dann sofort an das sich das
> Vorzeichen ändert.....
>  Es wäre klasse wenn mir jemand das erklären könnte...

Also:

[mm] $f'(x)=(x-1)\cdot [/mm] g(x)$.

Schauen wir uns jetzt eine (hinreichend kleine) umgebung von 1 an: wie dein prof richtig begruendet hat, ist g dort negativ. Und was ist mit dem anderen Faktor, naemlich $(x-1)$? der wechselt das vorzeichen von - nach +! Zusammen also + nach - ....
Klar?


Gruss
Matthias




Bezug
                
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Extremwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Mi 20.09.2006
Autor: Soldi01

Ah danke ja jetzt ist es mir klar.... Manchmal sieht man den Baum vor lauter Wald nicht ;-) danke...

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