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| Aufgabe | - Für welches k hat die [mm] Wendetangente(t_{k}(x)) [/mm] des Graphen von [mm] g_{k} [/mm] maximale Steigung?
- Für welches k schließt der Graph [mm] g_{k}(x) [/mm] den minimalen Flächeninhalt ein? |
Hallo Leute,
Gleichung der Wendetangente lautet [mm] t_{k}(x)=-\bruch{1}{2}*k^{2}+\bruch{1}{2}*k^{3}
[/mm]
hier erkennt man doch nur draus, dass für steigendes k die steigung der tangente größer wird, muss man hier mit einer Grenzbetrachtung arbeiten ;) ? Oder ich denke, man könnte fragen, für welches k ist die Steigung nun 100% ? Wie rechnet/zeigt man das?
[mm] g_{k}(x)=\bruch{1}{2}x^{3}-\bruch{3}{2}kx^{2}+k^{2}x
[/mm]
bzw = [mm] \bruch{1}{k-1}*x(x-k)(x-2k) [/mm] , k > 1
Für den 2ten Teil hab ich nur eine kleine Frage, was die Grenzen betrifft...
Die Funktion [mm] g_{k}(x) [/mm] ist ja punktsymmertisch wenn man eine parrallel zur Y-Achsen laufenden Geraden durch den Wendepunkt der Funktion zeichnet...wobei der Wendepunkt immer bei W(k/0) liegt
Von 0 bis k ist positiver Flächeninhalt und von k bis 2k wird "negativer" Flächeninhalt begrenzt.
Deshalb integriere ich [mm] g_{x} [/mm] und nehme die Grenzen 0 bis k und schaue wann dieser minimal wird(durch die erste Ableitung dieser Funktion in Abhängigkeit von k), richtig? Oder muss ich Grenze von 0 bis 2k nehmen?
Vielen Dank schonmal :)
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Sa 19.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> - Für welches k hat die [mm]Wendetangente(t_{k}(x))[/mm] des Graphen
> von [mm]g_{k}[/mm] maximale Steigung?
> - Für welches k schließt der Graph [mm]g_{k}(x)[/mm] den minimalen
> Flächeninhalt ein?
> Hallo Leute,
>
> Gleichung der Wendetangente lautet
> [mm]t_{k}(x)=-\bruch{1}{2}*k^{2}+\bruch{1}{2}*k^{3}[/mm]
>
> hier erkennt man doch nur draus, dass für steigendes k die
> steigung der tangente größer wird, muss man hier mit einer
> Grenzbetrachtung arbeiten ;) ? Oder ich denke, man könnte
> fragen, für welches k ist die Steigung nun 100% ? Wie
> rechnet/zeigt man das?
Mach doch mal eine ganz normale Untersuchung für [mm] t_{k}(x) [/mm] auf Hochpunkte, aber die Variable, nach der du ableitest ist k.
Ich vermute übrigens, dass
[mm] t_{k}(x)=-\bruch{1}{2}*k^{2}\red{x}+\bruch{1}{2}*k^{3}, [/mm] weil sonst hast du keine Gerade.
>
> [mm]g_{k}(x)=\bruch{1}{2}x^{3}-\bruch{3}{2}kx^{2}+k^{2}x[/mm]
>
> bzw = [mm]\bruch{1}{k-1}*x(x-k)(x-2k)[/mm] , k > 1
>
> Für den 2ten Teil hab ich nur eine kleine Frage, was die
> Grenzen betrifft...
> Die Funktion [mm]g_{k}(x)[/mm] ist ja punktsymmertisch wenn man
> eine parrallel zur Y-Achsen laufenden Geraden durch den
> Wendepunkt der Funktion zeichnet...wobei der Wendepunkt
> immer bei W(k/0) liegt
>
> Von 0 bis k ist positiver Flächeninhalt und von k bis 2k
> wird "negativer" Flächeninhalt begrenzt.
>
> Deshalb integriere ich [mm]g_{x}[/mm] und nehme die Grenzen 0 bis k
> und schaue wann dieser minimal wird(durch die erste
> Ableitung dieser Funktion in Abhängigkeit von k), richtig?
> Oder muss ich Grenze von 0 bis 2k nehmen?
>
Weder noch. Du hast drei Nullstellen, 0, k und 2k
Für die Fläche gilt nun:
[mm] A=\left|\integral_{0}^{k}\bruch{1}{2}x^{3}-\bruch{3}{2}kx^{2}+k^{2}xdx\right|+\left|\integral_{k}^{2k}\bruch{1}{2}x^{3}-\bruch{3}{2}kx^{2}+k^{2}xdx\right|
[/mm]
Das ganze ergibt dann eine Funktion A(k), deren Minimum du berechnen sollst.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Ahhh, klar, klingt alles einleuchtend :)
Danke dir :D
das x hab ich vergessen anzufügen :)
grüße
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Hey
Ich bin gerade aus etwas "unangenehmes" gestoßen^^
wenn ich [mm] t_{x}(k) [/mm] untersuche auf Extremstellen
Mir bereit das x-Probleme, ich hab als Konstante aufgefasst, richtig?
[mm] t_{x}(k)=\bruch{1}{2}k^{3}-\bruch{1}{2}xk^{2}
[/mm]
[mm] t'(k)=\bruch{3}{2}k^2-\bruch{1}{2}xk^{2}
[/mm]
[mm] 0=k(\bruch{3}{2}k-x) [/mm]
[mm] k_{xe}=\bruch{2}{3}x
[/mm]
Nur wie gehts jetzt weiter, raten bringt mir jetzt auch nich so viel ;)
Hmm jemand nen Tip?
Schönen Abend! Daniel
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Überprüfe nochmals Deine erste Ableitung
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hey
die erste ableitung war nur falsch abgetippt...es kommt trotzdem meine errechnete Nullstelle in Abhängigkeit von x raus...
wie muss ich das verstehen...ich suche doch die Wendetangente mit der stärksten Steigung?!
$ [mm] t_{x}(k)=\bruch{1}{2}k^{3}-\bruch{1}{2}xk^{2} [/mm] $
$ [mm] t'(k)=\bruch{3}{2}k^2-xk [/mm] $
$ [mm] 0=k(\bruch{3}{2}k-x) [/mm] $
$ [mm] k_{xe}=\bruch{2}{3}x [/mm] $
gruß daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 20.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwas ist falsch gelaufen.
gefragt ist doch nur die Steigung im Wendepunkt. wenn deine Gleichung für die Wendetangente stimmt wäre das [mm] -k^2/2
[/mm]
sieht mir komisch aus, denn das ist doch erst für x gegen [mm] -\infty [/mm] maximal. ist nicht vielleicht doch nicht deine Wendetangente die Gl.
sondern die Steigung ist [mm] m=1/2k^3-1/k^2
[/mm]
und du willst das maximieren? dann ist da kein x, und du hast nur statt Stegung Tangente geschrieben und dich verwirren lassen.
Kurz: in der Steigung darf kein x vorkommen. die Gl. ohne x musst du differenzieren und o setzen!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 So 20.01.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Ja genau, is mir auch suspekt, aber - unendlich is anscheinend die Antwort..
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