Extremwertaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Chekdar |
Hi, hier ein weiteres Problem für mich,
kurz vor der Prüfung ist der Lehrer mit folgenden aufgaben erschien und ich verstehe den zusammenhang mit Differenzialrechnung nicht mehr. Weil wir bis jetzt mit Kurvendiskussion gearbeitet haben. Die Aufgabe lautet so:
Aus einer Blechtafel mit den Maßen 500x 300 soll ein oben offener Kasten gebogen werden. Welche Höhe h muss der Kasten haben, wenn das Volumen maximal sein soll?
Was ich hier nicht verstehe wie man da vor geht um Pmax oder Pmin zu berechnen. Bis jetzt haben wir irgendwelche Funktionen n-ten gerades gerechnet und irgendwelche x-werte rausbekommen. Wie bilde ich hier mit Buchstaben die Ableitungen? Was ist hier bei solche Körpern wichtig.
Wer kann mir bitte helfen?
Danke voraus
Chekdar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo chekdar,
nun, vorweg ist es bei solchen körpern immer ganz günstig sich eine skizze zu machen. zudem muß man sich über legen, welcher körper ensteht.
die maße des blechs sind 500(länge a)*300(breite b). reduzieren wir ersteinmal die maße und dividieren durch 100, um uns die weitere rechnung zu erleichtern.
--> a=5 b=3
wenn du nun die seiten deines blechs nach oben biegst, dann entsteht ein quader, dessen volumen von der höhe abhängig ist.
das volumen berechnet sich über
V=länge*breite*höhe=a*b*h
nun können wir die volumen bzw. zielfunktion aufstellen. man bedenke, dass sich beim biegen die länge und die breite um das doppelte der höhe verkürzen, da wir ja an allen seiten des blechs biegen.
--> [mm]V(h)=(a-2h)(b-2h)h=)=(5-2h)(3-2h)h=4h^3-16h^2+15h[/mm]
bedenke den definitionsbereich dieser funktion
[mm]ID fuer 0{\le}h{\le}1,5[/mm]
denn höher kannst du dein blech nicht biegen, da deine breite nur 3 beträgt
da wir nun das maximale volumen suchen, berechnen wir unseren hochpunkt über die ableitung
--> [mm]V'(h)=12h^2-32h+15[/mm]
[mm]V'(h)=0=12h^2-32h+15[/mm]
[mm]h_{1/2}=\bruch{32\pm\wurzel{1024-720}}{24}[/mm]
[mm]h_1=2,06[/mm] außerhalb des definitionsbereichs
[mm]h_2=0,606[/mm]
nachweis über die zweite ableitung
--> [mm]V''(0,606)<0 -->HP[/mm]
da wir anfangs durch 100 dividiert haben müssen wir nun wieder mit 100 multiplizieren, um den alten maßstab zu erhalten
--> bei einer höhe von 60,6 ist das volumen maximal. (das heißt, ich muß jede seite des blechs um 60,6 nach oben biegen)
hoffe ich konnte dir weiterhelfen
mfg molek
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