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Hallo,
ich musste bis zu morgen (29.09.06) Aufgaben berechnen. Auf dem folgenden
Arbeitsblatt entweder a) oder b) von jeder Aufgabe. Da ich flach liege und tot
krank bin gerat ich schon in's Schwitzen, wenn ich das hier am PC tippe... hab
Fieber. Da wir eine total nette Mathelehrerin haben, die selbst Krankheiten,
Todesfälle in der Familie etc. nicht als Rechtfertigung akzeptiert, muss ich
irgendwie die Lösungen bekommen und hoffe jetzt auf Hilfe von Euch.
Hier das Blatt: Also entweder a oder b von jeder Aufgabe. Dazu brauch ich
Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion, Untersuchung der Zielfkt. auf
lokales Extrema.Danke vielmals ~ der, der jetzt echt mal Hilfe braucht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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wollte nur eben meinen dank aussprechen an steffan, der das hier lieberweise bearbeitet... hatte mir sogar selbst schon lösungsansätze gemacht, aber ich komm nich weit - mir dröhnt der kopf... ich schau dann nachher nochmal, danke danke danke!
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[mm] \mbox{Hi,}
[/mm]
[mm] \mbox{Erst mal: Gute Besserung!}
[/mm]
[mm] \mbox{1a):}
[/mm]
[mm] \mbox{ - Hauptbedingung: } [/mm] $ [mm] V_{Quader}=a^2b [/mm] $
[mm] \mbox{ - Definitionsbereich: } $D_{V}=D_{O}=\{a,b\in\IR | a,b>0\}$
[/mm]
[mm] \mbox{ - Nebenbedingung: 1. Nach vorn offen.} [/mm]
[mm] \mbox{ - Nebenbedingung: 2. } O_{Quader}=3ab+2a^2=3 \gdw b=\bruch{3-2a^2}{3a}=\bruch{1}{a}-\bruch{2a}{3}
[/mm]
[mm] \mbox{Zielfunktion: } $V(b)=a^2*(\bruch{1}{a}-\bruch{2a}{3})=a-\bruch{2a^3}{3} \Rightarrow V'(b)=-2a^2+1 \Rightarrow V''(b)=-4a^2$
[/mm]
[mm] \mbox{Extrema berechnen:}
[/mm]
[mm] \mbox{NB: } $V'(a_{0})=0$
[/mm]
$V'(a)=0 [mm] \gdw -2a^2+1=0 \gdw a_{1}=\wurzel{\bruch{1}{2}} \vee a_{2}=-\wurzel{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $a_{2}$ \mbox{ fällt weg, da es außerhalb des Definitionsbereiches liegt.}
[/mm]
[mm] \mbox{HB: } $V'(a_{0})=0 \wedge V''(a_{0})\not=0$
[/mm]
[mm] $V''(\wurzel{\bruch{1}{2}})<0 \Rightarrow [/mm] Maximum$
[mm] \Rightarrow b=\bruch{1}{\bruch{1}{2}}-\bruch{2*\bruch{1}{2}}{3}=2-\bruch{1}{3}=1\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \mbox{Das Fassungsvermögen wird also für } $b=1\bruch{2}{3}$ \mbox{ und } $a=\wurzel{\bruch{1}{2}}$ \mbox{ maximal.}
[/mm]
[mm] \mbox{2a):}
[/mm]
[mm] \mbox{Hauptbedingung: } $O_{Zylinder}=\pi*r(r+2h)$
[/mm]
[mm] \mbox{Nebenbedingung: } $V_{Zylinder}=\pi*r^2*h=1 \gdw h=\bruch{1}{\pi*r^2}$
[/mm]
[mm] \mbox{Definitionsbereich: } $D_{O}=D_{V}=\{r,h\in\IR | r,h>0\}$
[/mm]
[mm] \mbox{Zielfunktion: } $O(r)=\pi*r(r+\bruch{2}{\pi*r^2})=\pi*r^2+\bruch{2}{\pi*r}=\pi*r^2+\bruch{2}{\pi}r^{-1} \Rightarrow O'(r)=2\pi*r-\bruch{2}{\pi}r^{-2} \Rightarrow O''(r)=2\pi+\bruch{4}{\pi}r^{-3}$
[/mm]
[mm] \mbox{Extrema berechnen:}
[/mm]
[mm] \mbox{NB: } $O'(r_{0})=0$
[/mm]
$O'(r)=0 [mm] \gdw 2\pi*r-\bruch{2}{\pi*r^2}=0 \gdw (2\pi*r)*(\pi*r^2)-2=0 \gdw 2\pi^2*r^3-2=0 \gdw r^3=\bruch{2}{2\pi^2} \gdw r=\wurzel[3]{\bruch{1}{\pi^2}}$
[/mm]
[mm] \mbox{HB: } $O'(r_{0})=0 \wedge O''(r_{0})\not=0$
[/mm]
[mm] $O''(\wurzel[3]{\bruch{1}{\pi^2}})>0 \Rightarrow [/mm] Minimum$
$ [mm] \Rightarrow h=\bruch{1}{\pi*(\wurzel[3]{\bruch{1}{\pi^2}})^2}=\bruch{1}{\wurzel[3]{\bruch{1^2}{\pi}}}=\wurzel[3]{\bruch{1}{\pi}}$
[/mm]
[mm] \mbox{Der Materialverbrauch wird also für } h=\wurzel[3]{\bruch{1}{\pi}} \mbox{ und } r=\wurzel[3]{\bruch{1}{\pi^2}} \mbox{ minimal.}
[/mm]
[mm] \mbox{Bis hierhin erst mal irgendwelche Fragen?}
[/mm]
[mm] \mbox{Grüße,}
[/mm]
[mm] \mbox{Stefan.}
[/mm]
[mm] \mbox{EDIT: Habe es nachträglich ins dimensionslose transformiert.}
[/mm]
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hey stefan! danke dir vielmals, bin um einiges reicher. ich hab auch schon nummer 5 gelöst. nun brauch ich nur noch 4. a oder b und 3. a oder b.
danke schonmal...wow!
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Hey, hat also. Aufgabe 4. a) hab ich jetzt doch noch geschafft. Ich brauch nur noch 3. a) oder 3. b) ! Danke!
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[mm] \mbox{Hi noch mal,}
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$ f:f(x)=x+2 $
$ a=4 $
$ b=5 $
[mm] \mbox{Hauptbedingung: } $A_{Rechteck}=p*q$
[/mm]
[mm] \mbox{Nebenbedingungen: } [/mm] $p=a-x [mm] \wedge [/mm] q=b-[b-f(x)]=f(x)$
[mm] \mbox{Definitionsbereich: } $D=\{p,q\in\IR | 5>q>0 \wedge 4>p>0\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A(x)=(4-x)*(x+2)=4x-x^2+8-2x \Rightarrow [/mm] A'(x)=-2x+2 [mm] \Rightarrow [/mm] A''(x)=-2$
[mm] \mbox{Extrema berechnen:}
[/mm]
[mm] \mbox{NB: } $A'(x_{0})=0$
[/mm]
$A'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] -2x-2+4=0 [mm] \gdw [/mm] x=1$
[mm] \mbox{HB: } $A'(x_{0})=0 \wedge A''(x_{0})\not=0$
[/mm]
$A''(1)=-2 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum$
[mm] $\Rightarrow [/mm] p=4-1=3 [mm] \wedge [/mm] q=f(1)=1+2=3$
[mm] \Rightarrow A_{maximal}=3*3=9
[/mm]
[mm] \mbox{Der Flächeninhalt wird für } [/mm] $ p=3 $ [mm] \mbox{ und } [/mm] $ q=3 $ [mm] \mbox{ maximal.}
[/mm]
[mm] \mbox{Grüße,}
[/mm]
[mm] \mbox{Stefan.}
[/mm]
[mm] \mbox{EDIT: Habe es nachträglich ins dimensionslose transformiert.}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Do 28.09.2006 | | Autor: | Walty |
[mm]\mbox {Hallo Lotti/Stefan}[/mm]
[mm]\mbox {Dein Rechenweg ist absolut korrekt, aber...}[/mm]
[mm]\text{ich müsste da noch 'ne Korinthe loswerden}[/mm]
[mm]\mbox {Wie Du schon in Deinem Schlussatz bemerkst, ist Deine Verwendung der Einheit/Dimension } dm \mbox{ in der Rechnung eher problematisch}[/mm]
[mm]\mbox {an dieser Stelle z.B.:}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A(x)=(4dm-x)*(5dm-[x+2])=(4dm-x)*(x+2)=4dm*x-x^2+8dm-2x \Rightarrow A'(x)=-2x-2+4dm \Rightarrow A''(x)=-2[/mm]
>
[mm]\mbox{kommst Du damit in erhebliche Schwierigkeiten, weil Du schreibst:}[/mm]
[mm] A(x)=...=4dm*x-x^2+8dm-2x [/mm]
[mm] \text{Also eine Fläche, Einheit } {dm}^2=4{dm}*x-x^2 ... \text{(hier kann man wohlwollend die Einheit }\ dm\ \text{noch implizit in}\ x\ \text{enthalten annehmen) ...}[/mm]
[mm] +8dm-2x\ \Leftarrow\text{(aber spätestens hier kneift es, weil Du hier }\underline{\text{eine Länge (!)}}( 8dm ) \text{ stehen hast )}[/mm]
[mm]\text{ der Fehler liegt schon in der ersten Zeile, wo du }x+2dm\ \text{hättest schreiben müssen und dann konsequent mitschleppen}[/mm]
[mm]\text{Auch dein Ergebnis}[/mm]
[mm]q=2dm+1 \text{ passt nicht - Du Kannst nicht die dimensionbehaftete Größe } 2dm\text{ mit einer dimensionslosen }1\ \text{verrechnen} [/mm]
[mm]\text{Langen Geschwafels kurzer Sinn: am besten ohne Dimensionen rechnen, die schütteln sich (fast) immer zurecht.}[/mm]
[mm]\text{Worauf man allerdings achten muss, ist dass man bei allen Größen die gleiche Größenordnung } (dm \neq cm) \text{ hat !}[/mm]
[mm]\text{Gruß Walty}[/mm]
...
>
> [mm]\Rightarrow A_{maximal}=(2dm+1)*(2dm+1)=4dm^2+2dm+2dm+1=4dm^2+4dm+1[/mm]
>
> [mm]\mbox{Der Flächeninhalt wird für }[/mm] [mm]p=2dm+1[/mm] [mm]\mbox{ und }[/mm]
> [mm]q=2dm+1[/mm] [mm]\mbox{ maximal.}[/mm]
>
> [mm]\mbox{Alles klar? Du kannst diese ganze Rechnung natürlich auch ohne das Zeichen [dm] machen, so kommst du auf ein wirkliches Ergebnis.}[/mm]
>
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