Extremwertaufgabe (Sachaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Sa 04.03.2006 | | Autor: | moes |
| Aufgabe | | Aus einem Karton mit den Maßen 40x60cm soll eine Schachtel ohne Deckel mit möglichst großem Volumen hergestellt werden. Wie tief müssen die Einschnitte (x) dazu gemacht werden? |
Wollte mal fragen ob mir jemand sagen kann ob das richtig ist. Bin mir da nicht so sicher:
geg.: U= 200 (2a+2b)
ges.: x für V=MAX (?)
ZF: V=a*b*c
NF: U=2a+2b
200=2a+2b |:2
100=a+b |-b
a=100-b
V=f(b)=(100-b)*b*c
[mm] V=f(b)=100b-b^2*c
[/mm]
V'=f'(b)=100-2b
0 =100-2b |+2b
2b=100 |:2
b = 50
a=100-b
a=100-50
a=50
Jetzt weiß ich nicht ob das richtig ist da ich ja nicht so wirklich x rausbekommen habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo moes,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dein Rechenweg stimmt leider nicht, da die Nebenbedingung falsch ist. Diese wurde so gar nicht vorgegeben.
Mach Dir mal eine Skizze. Dabei ist $x_$ die gesuchte Einschnittslänge (bzw. die Seitenlänge des Quadrates, das herausgeschnitten wird vor dem Hochklappen der Seitenwände).
Die Hauptbedingung hast Du mit $V \ = \ a*b*c$ richtig erkannt.
Durch den Einschnitt ergibt sich die Quaderhöhe $c_$ exakt mit der Einschnittslänge:
$c \ = \ x$
In der Breite werden die Einschnittslänge zweimal entfernt:
$b \ = \ 40-2*x$
Genauso bei der Länge des Kartons: $a \ = \ 60-2*x$
Einsetzen liefert dann die gesuchte Zielfunktion in Abhängigkeit von $x_$ :
$V(x) \ = \ (60-2x)*(40-2x)*x \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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