Extremwertaufgabe (Problem:Nebenbedingung) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Di 17.08.2004 | | Autor: | notte |
Hallo,
die folgende Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen:
Ein Päckchen in Rollenform (also: Zylinder) soll mit den Parametern Länge und Durchmesser auf maximales Volumen gebracht werden. Die Länge l und der zweifache Durchmesser d sollen zusammen höchstens 104cm betragen.
Mein Ansatz:
Hauptbedingung: Volumen V=l*d* [mm] \pi [/mm] bzw.: [mm] V(l,d)=l*d*\pi
[/mm]
Nebenbedingung: P = l+2*d <=104cm
Variableneliminierung:
[mm] V(l)=\pi \bruch{(P-l)}{2}*l
[/mm]
V(l)=-l²+ [mm] \pi \bruch{l*p}{2}
[/mm]
[mm] v'(l)=-2l+\pi*P/2=0
[/mm]
Auflösen v' nach l:
(...)
[mm] l=\bruch{P}{4} \pi
[/mm]
Jetzt setze ich einfach für P die 104cm als zweite Nebenbedingung und erhalte so für die Länge l = 81cm und dann durch einsetzen für Durchmesser d=11,5cm
Und hier liegt meiner Meinung nach der Fehler! Ich weiß nicht wie ich die zwei Nebenbedingungen (l+2*d <=104 sowie V maximal)besser ausdrücken soll und behelfe mich mit dem P. Das obige ist zwar eine Lösung aber:drehe ich mich mit der Nebenbedingung im Kreis? Ist das V dann auch Vmax?!?
Danke,
Gernot
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Di 17.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
vielleicht wird hier dein problem gerade gelöst.
andreas
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wir scheinen für die selbe Prüfung zu lernen 
https://matheraum.de/read?f=1&t=1867&i=1867
https://matheraum.de/read?f=1&t=1869&i=1869
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Hi,
ich denke dein Problem ist, dass du die Nebenbedingung nicht richtig eingepflegt hast. Die Lösung deines Problems lässt sich mit ein paar Standardtechniken der Optimierungstheorie leicht lösen (Stichwort: Lagrangefunktion,Dualitätssatz).
Ziel: [mm] \max_{l,d} V(l,d) [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] l+2d\leq 104 [/mm]
1. Schritt: Äqivalentes Problem [mm] \min_{l,d} -V(l,d) [/mm] unter Nebenbedingung [mm] -l-2d\geq -104 [/mm].
2. Schritt: Definiere Lagrangefunktion [mm] \mathcal L(l,d,\lambda):=-ld\pi-\lambda(-d-2d+104) [/mm]
3. Schritt: Löse [mm] (\hat l,\hat d):=\arg\min_{l,d} L(l,d,\lambda):=-ld\pi-\lambda(-d-2d+104) , \lambda\geq 0 [/mm]
Es folgt: [mm] \frac{\partial\mathcal L}{\partial l}=-d\pi+\lambda=0 \Leftrightarrow \hat d=\lambda/\pi [/mm] und [mm] \frac{\partial\mathcal L}{\partial d}=-l\pi+2\lambda \Leftrightarrow \hat l=2\lambda/\pi [/mm]
4. Schritt: Einsetzten von [mm] (\hat l,\hat d) [/mm] in [mm] \mathcal L(l,d,\lambda) [/mm]:
[mm] W(\lambda):=L(\hat l,\hat d,\lambda)=2\lambda^2/\pi-104\lambda [/mm]
5. Schritt: Dualitätssatz anwenden: [mm] \hat\lambda:= \arg\max_\lambda W(\lambda),\hat\lambda\geq 0, \lambda(-\hat l-2\hat d+104)=0 [/mm]
Es folgt: [mm] \frac{\partial W(\lambda)}{\pratial \lambda}=4\lambda/\pi-104=0 \Leftrightarrow \hat \lambda=104\pi/4 \Rightarrow \hat l=52, \hat d=26 [/mm]
Ich hoffe das hilft weiter (ohne Gewähr) !
Viel SPass noch.
P.S.: Was du als Volumen [mm] V [/mm] bezeichnest ist eigentlich die Manteloberfläche eines Zylinders ([mm] V=\pi hd^2/4 [/mm]).
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