Extremwertaufgabe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Eine Firma stellt zylindrische Behälter mit Radius r und Höhe h her. r und h sollen so gewählt
werden, dass bei vorgegebenem Volumen V m¨oglichst wenig Material verbraucht wird. Bestimmen
Sie r, h und [mm] \bruch{h}{r} [/mm] |
Also,
die Hauptbedingung ist doch, dass M = 2 [mm] \* [/mm] PI [mm] \* [/mm] r [mm] \* [/mm] h minimal ist.
Aber wie kann man jetzt eine Nebenbedingung formulieren? Da müsste ja irgendwie das Volumen vorkommen, um damit die unbekannten Variablen, nämlich r und h, ersetzen zu können?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 30.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine Firma stellt zylindrische Behälter mit Radius r und
> Höhe h her. r und h sollen so gewählt
> werden, dass bei vorgegebenem Volumen V m¨oglichst wenig
> Material verbraucht wird. Bestimmen
> Sie r, h und [mm]\bruch{h}{r}[/mm]
>
> Also,
>
> die Hauptbedingung ist doch, dass M = 2 [mm]\*[/mm] PI [mm]\*[/mm] r [mm]\*[/mm] h
> minimal ist.
Nicht ganz. Die Behälter haben noch Deckel und Boden, so dass
[mm] O(r,h)=2\pi*r^{2}+2\pi*r*h [/mm] die Hauptbedingung ist.
>
> Aber wie kann man jetzt eine Nebenbedingung formulieren? Da
> müsste ja irgendwie das Volumen vorkommen, um damit die
> unbekannten Variablen, nämlich r und h, ersetzen zu
> können?
Das Volumen V eines Zylinders - und das kannst du als bekannt voraussetzen, auch wenn nur als V - berechnet sich doch mit [mm] V=\pi*r^{2}*h
[/mm]
Das nach h umgestellt ergibt [mm] h=\bruch{V}{\pi*r^{2}}, [/mm] und diesen Wert für h kannst du nun in O(r,h) einsetzen, so dass du am Ende eben [mm] O_{V}(r)=2*\pi*r^{2}+2\pi*r*\bruch{V}{\pi*r^{2}}=2*\pi*r^{2}+\bruch{2V}{r}=2*\pi*r^{2}+2Vr^{-1} [/mm] bekommst.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr. Aber das r bzw. eine Unbekannte kann immer vorhanden bleiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 30.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst jetzt ja ohne Probleme das Minimum von [mm] O_{V}(r) [/mm] bestimmen
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Und wie bestimmt man danach das h?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 30.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Du hast doch irgendwo mal [mm] h=\ldots [/mm] stehen gehabt, sonst hättest du h nicht ersetzen können.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, angenommen, ich hätte jetzt das r, durch das O minimal wird. Dann kann ich dieses r einfach in die Gleichung für h einsetzen und hätte das passende h? Ist das so einfach?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 30.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Also, angenommen, ich hätte jetzt das r, durch das O
> minimal wird. Dann kann ich dieses r einfach in die
> Gleichung für h einsetzen und hätte das passende h? Ist
> das so einfach?
Yep
Marius
|
|
|
|
