Extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 11.06.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Extrema:
[mm] f(x;y)=|y-2*x^2|+y^2 [/mm] |
Hi!
Die Funktion hat als [mm] Df=\IR^2, [/mm] also keine Randpunkte die ich bei der Extremwertsuche beachten muss.
Problem ist, dass die Funktion evtl. nicht diff'bar ist wenn der Term im Betrag = 0 ist, also muss ich diese Stellen irgendwie gesondert bearbeiten und bin bisjetzt so vorgegangen:
Extremwertsuche unter Nebenbedingung:
Nebenbedingung: [mm] y-2*x^2=0 \gdw y=2*x^2
[/mm]
in zielfunktion einsetzen:
[mm] f(x;y)=4*x^4
[/mm]
Gesucht sind die Extrema der Funktion [mm] g(x)=4*x^4 [/mm] mit [mm] D_g=\IR
[/mm]
Da weis man sofort, dass die Funktion ein globales Minimum an der Stelle x=0 bzw (0/0) hat.
Also hat die Funktion [mm] f(x;y)=|y-2*x^2|+y^2 [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] y-2*x^2=0 [/mm] ein globales Minimum an der Stelle f(0;0) ....
Allerdings muss ich doch jetzt noch prüfen, ob das auch ohne die Nebenbedingung gilt?
Und da komme ich nicht weiter.
Eine Idee war, dass ich die Höhenlinie zeichne, in der der Punkt (0;0) vorkommt.
Also f(0;0)=0 ...
0 = [mm] |y-2*x^2|+y^2
[/mm]
Doch jetzt könnte ich ja beim auflösen des Betrages 2 Fälle betrachten :
1.Fall [mm] y-2*x^2\ge0 [/mm] und 2.Fall [mm] y-2*x^2\le0 [/mm] und dann komme ich auf verschiedene Höhenlinien (1ter Fall müsste eine Hyperbel sein und der 2.Fall eine Ellipse) was mich irgendwie verwirrt.
Was muss ich machen um zu verifizieren, dass die Funktion für (0;0) ein globales Minimum hat?
Danke und Gruß,
tedd ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Do 11.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Extrema:
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> [mm]f(x;y)=|y-2*x^2|+y^2[/mm]
> Hi!
>
> Die Funktion hat als [mm]Df=\IR^2,[/mm] also keine Randpunkte die
> ich bei der Extremwertsuche beachten muss.
>
> Problem ist, dass die Funktion evtl. nicht diff'bar ist
> wenn der Term im Betrag = 0 ist, also muss ich diese
> Stellen irgendwie gesondert bearbeiten und bin bisjetzt so
> vorgegangen:
Hallo,
du schlägst mit der universitären Keule auf eine Aufgabe ein, die jeder (einigermaßen vernünftige) Schüler der 9. Klasse elementar lösen kann.
Da weder das Quadrat einer reellen Zahl noch ein Betrag negativ sein kann, hat der kleinste mögliche Funktionswert der Summe aus Quadrat und Betrag den Wert "Null".
Dazu müssen aber beide Summanden Null sein.
Für den zweiten Summanden bedeutet das y=0, und dann muss im ersten Summanden auch x=0 gelten.
Gruß Abakus
>
> Extremwertsuche unter Nebenbedingung:
>
> Nebenbedingung: [mm]y-2*x^2=0 \gdw y=2*x^2[/mm]
>
> in zielfunktion einsetzen:
>
> [mm]f(x;y)=4*x^4[/mm]
>
> Gesucht sind die Extrema der Funktion [mm]g(x)=4*x^4[/mm] mit
> [mm]D_g=\IR[/mm]
> Da weis man sofort, dass die Funktion ein globales Minimum
> an der Stelle x=0 bzw (0/0) hat.
>
> Also hat die Funktion [mm]f(x;y)=|y-2*x^2|+y^2[/mm] unter der
> Nebenbedingung [mm]y-2*x^2=0[/mm] ein globales Minimum an der Stelle
> f(0;0) ....
>
> Allerdings muss ich doch jetzt noch prüfen, ob das auch
> ohne die Nebenbedingung gilt?
> Und da komme ich nicht weiter.
>
> Eine Idee war, dass ich die Höhenlinie zeichne, in der der
> Punkt (0;0) vorkommt.
> Also f(0;0)=0 ...
> 0 = [mm]|y-2*x^2|+y^2[/mm]
> Doch jetzt könnte ich ja beim auflösen des Betrages 2
> Fälle betrachten :
> 1.Fall [mm]y-2*x^2\ge0[/mm] und 2.Fall [mm]y-2*x^2\le0[/mm] und dann komme
> ich auf verschiedene Höhenlinien (1ter Fall müsste eine
> Hyperbel sein und der 2.Fall eine Ellipse) was mich
> irgendwie verwirrt.
>
> Was muss ich machen um zu verifizieren, dass die Funktion
> für (0;0) ein globales Minimum hat?
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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