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Hallo, ich hab mal wieder ne Frage....
Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x}{(lnx)^2}
[/mm]
Es existiert genau ein Punkt P (x;f(x)) (x [mm] \in [/mm] R, x >0), dessen Abstand zum Koordinatenursprung minimal ist. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P. (Auf hinreichende Bedingung kann verzichtet werden)
Meine Überlegung war zuerst eine Hauptbedingung zu finden, und Nebenbedingung, um die Zielfunktion aufstellen zu können. Allerdings weiß ich nicht wie ich den Abstand zum Koordinatenursprung bestimme.
Jedenfalls hab ich die Lösung vorgegeben. Danach lautet der Ansatz:
a(x)= [mm] \wurzel{x^2+(f(x))^2} [/mm] (a(x) ist der Abstand zum Koordinatenursprung)
Klar dann erste Ableitung bilden, Null setzen und der Punkt ist P (e;e)
Aber ich verstehe nicht woraus sich der Ansatz zusammen setzt. Es wäre total lieb wenn mir das jemand erklären könnte. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Di 29.03.2005 | | Autor: | Kritiker |
Hi
Der Ansatz ergibt sich aus der Formel für den Abstand zweier Punkte.
d(A,B)= [mm] \wurzel{(a1-b1)^{2}+(a2-b2)^{2}}
[/mm]
ALSO in deinem Fall:
[mm] a(x)=\wurzel{(x-0)^{2}+(f(x)-0)^{2}}
[/mm]
gruß Kritiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Di 29.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Juliane!
Hinter diesem Ansatz steckt schlicht und ergreifend der alte Grieche Pythagoras ...
Wenn Du Dir einen (beliebigen) Punkt mit $P \ ( \ x \ | \ y \ )$ in ein Koordinatensystem zeichnest, hast Du gemeinsam mit dem Ursprung und dem x-Wert von P ein rechteckiges Dreieck mit den beiden Koordinaten-Werten $x$ und $y$ als Katheten und den Abstand $a$ als Hypotenuse.
Daher gilt hier auch der Satz des Pythagoras mit: [mm] $a^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$.
[/mm]
Dies' ergibt dann nach $a$ umgestellt und dem Ansatz $y \ = \ f(x)$ Deine genannte Hauptbedingung.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Um Deinen Rechenaufwand zu reduzieren, genügt es, wenn Du die Funktion $d(x) \ = \ [mm] a^2(x) [/mm] \ = \ [mm] x^2 [/mm] + [mm] f^2(x)$ [/mm] untersuchst.
Dies' gilt, weil für minimalen Abstand [mm] $a_{min}$ [/mm] auch das Quadrat dieses Wertes [mm] $a_{min}^2$ [/mm] minimal ist.
Die Erleichterung besteht in der Bildung der Ableitung(en), da die Wurzel entfällt.
Ich hoffe, nun sind alle Klarheiten beseitigt ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Di 29.03.2005 | | Autor: | Kritiker |
Hi Loddar!
Ich würde sagen beide Ideen sind richtig.
Übrigens was hälst du von meinem Def. Bereich?
gruß Kritiker
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Danke ihr beiden, is ja eigentlich ganz simpel, aber drauf kommen muss man ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Di 29.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kritiker!
Aber auch hinter Deinem Ansatz steckt natürlich "nur" der Satz des Pythagoras!
Gruß
Loddar
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